[論文レビュー] Is Quantum Mechanics An Island In Theoryspace?

Scott Aaronson|ArXiv.org|Jan 12, 2004

Quantum Information and Cryptography参考文献 13被引用数 38

ひとこと要約

この論文は、量子力学が理論空間における「島」であるかどうかを調査している。つまり、他の物理的理論と比較して、唯一安定的かつ自然であるかどうかを検討している。量子力学のノルム構造（p-ノルム）、振幅の実数性（実数 vs. 複素数）、線形性を変更することで、わずかな変更ですら、光速を超える信号伝達、困難な計算問題の効率的解法、あるいは平方根性という基本的対称性の喪失といった病理的結果を引き起こすことが示されている。これは、量子力学が理論空間において極めて頑健で特異な位置を占めていることを示唆している。

ABSTRACT

This recreational paper investigates what happens if we change quantum mechanics in several ways. The main results are as follows. First, if we replace the 2-norm by some other p-norm, then there are no nontrivial norm-preserving linear maps. Second, if we relax the demand that norm be preserved, we end up with a theory that allows rapid solution of PP-complete problems (as well as superluminal signalling). And third, if we restrict amplitudes to be real, we run into a difficulty much simpler than the usual one based on parameter-counting of mixed states.

研究の動機と目的

• 理論空間における量子力学の周辺を探索することで、それが物理的理論の中で唯一安定的かつ自然であるかどうかを評価すること。
• 量子力学における標準的な2-ノルムを他のp-ノルムに置き換えた場合の影響を調査すること。
• 複素数ではなく実数に制限された振幅を用いることで、混合状態のパラメータ数の整合性にどのような影響が生じるかを分析すること。
• 非線形量子理論の妥当性を評価し、計算複雑性および因果律に与える影響を検討すること。
• 時間発展演算子に不可欠な平方根性が、実数量子力学では成立しないかどうかを特定すること。

提案手法

• p ≠ 2 のp-ノルムを保存する線形写像を分析し、対角行列の置換のみが可能であることを示している。
• 代替量子理論の計算的パワーを調査するため、後見（postselection）を用いたフレームワークを導入している。
• 変換群における平方根性を、ユニタリ群、直交群、特殊直交群と比較して検討している。
• 行列代数を用いて、実数直交行列で行列式が -1 であるものは、他の実数行列の平方根として表現できないことを示している。
• アタッチメントキュービット（ancilla qubits）および高次元埋め込みを用いて、実数量子力学における平方根性の回復を試みている。
• 実数、複素数、クaternion的振幅における混合状態のパラメータ数のカウントを比較し、量子de Finetti定理との整合性を評価している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-ノルムを他のp-ノルムに置き換えた場合、量子力学はどのように変化するか？
• RQ2 実数振幅を用いる量子理論は、時間発展演算に必要な平方根性を保持できるか？
• RQ3 ノルムを保存するが線形でない非線形量子理論では、どのような計算的パワーが生じるか？
• RQ4 振幅の体（実数 vs. 複素数）を変更することで、混合状態のパラメータ数の整合性および量子de Finetti定理にどのような影響が生じるか？
• RQ5 なぜ2-ノルムが他のp-ノルムと比較して、量子力学に特異に適しているのか？

主な発見

• p ≠ 2 の場合、ノルムを保存する線形写像は、対角行列の置換のみが可能であり、手動での正規化がなければ非自明な量子力学的ダイナミクスは実現不可能である。
• p-ノルム理論において手動での正規化が要求されると、光速を超える信号伝達が可能になり、PP-完全問題を多項式時間で解けるようになる。
• 実数量子力学では平方根性が成立しない：行列式が -1 であるすべての直交変換が、実数行列の平方根として表現できるわけではない。
• 実数量子力学における平方根性は、高次元への拡張またはSO(n)への制限によってのみ回復可能であり、いずれの方法も物理的整合性の欠如や余剰次元の導入を伴う。
• 混合状態のパラメータ数の整合性において、複素数振幅が不可欠である。f(n) = n² は複素数振幅でのみ成立し、f(n_A n_B) = f(n_A)f(n_B) を満たす。
• 2-ノルムを保存するが非線形な量子理論（例：Weinbergゲート、多項式ゲート）は、依然としてNP-および#P-完全問題を効率的に解けるが、その頑健性は未解決の問題のままである。