[論文レビュー] Is there life beyond Quantum Mechanics?

Anton Kapustin|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Quantum Mechanics and Applications参考文献 16被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、観測可能量、運動論、測定に基づき、物理的に動機付けられた公理的枠組みを提示し、有限次元系においては、複素ヒルベルト空間、エルミート作用素、およびプランク定数を特徴とする標準量子力学のみが公理を満たすことを示している。主な結果は、これらの公理のもとで、有限次元量子力学の非自明な無限小変形が不可能であることを示すノーガ theorem であり、量子力学の任意の拡張は、標準的仮定から根本的に逸脱しなければならないことを示唆している。

ABSTRACT

We formulate physically-motivated axioms for a physical theory which for systems with a finite number of degrees of freedom uniquely lead to Quantum Mechanics as the only nontrivial consistent theory. Complex numbers and the existence of the Planck constant common to all systems arise naturally in this approach. The axioms are divided into two groups covering kinematics and basic measurement theory respectively. We show that even if the second group of axioms is dropped, there are no deformations of Quantum Mechanics which preserve the kinematic axioms. Thus any theory going beyond Quantum Mechanics must represent a radical departure from the usual a priori assumptions about the laws of Nature.

研究の動機と目的

• 有限次元系における物理的理論の公理的集合を、物理的に動機づけられたものとして定式化し、それが唯一の非自明な一貫性を持つ理論として標準量子力学に一意に導くこと。
• 複素数やプランク定数が数学的仮定ではなく、物理的原理から自然に導かれる理由を明確にすること。
• 標準的公理を緩和することで、非線形理論や古典的・量子的ハイブリッド理論が存在可能かどうかを調査すること。
• 物理的に妥当な仮定のもとで、量子力学の無限小変形に対するノー・ゴー定理を確立すること。
• 量子力学を超える理論が、標準的な物理的システムに関する事前仮定から根本的に逸脱しなければならないことを示すこと。

提案手法

• 公理は運動論的および測定論的グループに分けられ、前者は複合系に注目し、対称性に関するノネール型定理を含む。
• 対称性に関するノネール定理の存在は、観測可能量の空間が結合的代数を形成しなければならないことを示し、代数的構造のカテゴリカルな定式化を導く。
• 有限次元系では、観測可能量の代数が半単純であることが示され、ウェダーバーンの定理により、複素数上の行列代数の直和に同型である必要がある。
• スター構造（エルミート共役）は物理的整合性から導かれるが、行列代数の自己同型論を用いて、その無限小変形における剛性が証明される。
• 無限小変形の分析は、行列代数上のスター構造に焦点を当て、標準的なものに無限に近い任意の変形が、それと同型であることを示している。
• 状態や時間発展、ボーンの法則に関する仮定を避けて、観測可能量、その固有値、測定結果にのみ焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測可能量、運動論、測定に関する物理的に動機づけられた公理を満たす物理理論が、量子力学を超えるものとして存在可能か？
• RQ2 なぜ複素数やプランク定数が、任意の仮定を置かずに物理的原理から自然に現れるのか？
• RQ3 物理的公理を保ったまま、有限次元量子力学が無限小変形に対して剛体的か？
• RQ4 これらの公理のもとで、古典的および量子系を一貫して統合できる物理理論が存在可能か？
• RQ5 非線形的または非量子理論を許容するためには、どのような物理的仮定を放棄する必要があるか？

主な発見

• 有限次元量子力学は、複合系および対称性に関する物理的に動機づけられた公理の集合によって一意に決定づけられ、ヒルベルト空間上のエルミート作用素に導く。
• 複素数やプランク定数の出現は、公理から自然に生じるものであり、任意の仮定ではない。
• 公理のもとで、有限次元量子力学の非自明な無限小変形は存在しない。これは強い剛性結果を示している。
• 行列代数上のスター構造は、無限小変形に対して剛性を示し、任意のこのような変形は標準的なものと同型である。
• 量子力学を超える理論は、少なくとも一つの公理を破る必要があり、標準的な物理的仮定から根本的に逸脱しなければならない。
• この枠組みは、「幻の」観測可能量や、核心的な運動論的および対称性構造を保ったままの非線形拡張の存在を排除する。