[論文レビュー] Isocategorical groups

Pavel Etingof, Shlomo Gelaki|ArXiv.org|Jul 31, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 34

ひとこと要約

この論文は、同型でない場合でも、表現カテゴリがテンソルカテゴリとして同値であるような有限群、すなわち等価表現群（isocategorical finite groups）の概念を導入する。特に対称性を保存しない条件での同値性を考慮し、特性2のシミレクティック群を用いた構成により、このような群が存在することを証明する。また、群コホモロジーとアーベル正規部分群上の不変な歪対称形式を用いて、与えられた群と等価表現であるすべての群を群論的言語で分類する。

ABSTRACT

It is well known that if two finite groups have the same symmetric tensor categories of representations over C, then they are isomorphic. We study the following question: when do two finite groups G1,G2 have the same tensor categories of representations over C (without regard for the commutativity constraint). We call two groups with such property isocategorical. We give an example of two groups which are isocategorical but not isomorphic: the affine symplectic group of a vector space over the field of two elements, and an appropriate "affine pseudosymplectic group" introduced by R.Griess (containing the "pseudosymplectic group" of A.Weil). On the other hand, we give a classification of groups isocategorical to a given group. In particular, we show that if G has no nontrivial normal subgroups of order 2^{2m} then any group isocategorical to G must actually be isomorphic to G. The proofs use the theory of triangular Hopf algebras. We also apply the notion of isocategorical groups to studying the question: when are two triangular semisimple Hopf algebras isomorphic as Hopf algebras?

研究の動機と目的

• 有限群の表現カテゴリのテンソルカテゴリとしての構造が、その群の同型を一意に決定するかを調査すること。
• グロテンディーク環と完全なテンソルカテゴリの中間的な構造で、群をまだ一意に決定するものを探ること。
• 同型でない有限群であっても、その表現カテゴリがテンソルカテゴリとして同値であるような群の構成。
• 与えられた有限群と等価表現であるすべての群を群論的言語で分類すること。
• 群がカテゴリ的剛性（すなわち、等価表現であることから同型が導かれる）を示す条件を確立すること。

提案手法

• 同型でなくても、表現カテゴリがテンソルカテゴリとして同値である有限群を、等価表現群として定義する。対称性の保存は要求しない。
• 位数 $ 2^{2m} $ の正規アーベル部分群 $ A $ と、$ G $-不変な歪対称同型 $ R: A^\flat \to A $ を用い、$ H^2(A^\flat, \mathbb{C}^*)^K $ に値をとる類を定義する。
• 2-コサイクルとコボンド条件を用いて、$ \tau: H^2(A^\flat, \mathbb{C}^*)^K \to H^2(K, A) $ なるホモロジー写像を構成する。
• $ \tilde{b} $ を $ \tau $ から得られるものとして、新しい群の乗法 $ \gamma_1 * \gamma_2 := \tilde{b}(\bar{\gamma}_1, \bar{\gamma}_2) \gamma_1 \gamma_2 $ を定義し、$ G_b $ を構成する。
• 表現カテゴリのテンソル同値を用いて、$ G_b $ が $ G $ と等価表現であることを示す。
• 関数空間 $ Y $ 上の関数へのワイエル表現を用い、$ \mathrm{APs}(V) $ が小さな次元の射影表現をもつが、$ \mathrm{ASp}(V) $ は持たないことを示し、非同型性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同型でない有限群であっても、その表現カテゴリがテンソルカテゴリとして同値であることはあり得るか？
• RQ2 与えられた有限群と等価表現であるすべての群を分類するための群論的条件は何か？
• RQ3 群がカテゴリ的剛性（すなわち、等価表現であることから同型が導かれる）を満たすための条件は何か？
• RQ4 表現カテゴリが等価であっても、$ \mathrm{APs}(V) $ と $ \mathrm{ASp}(V) $ を区別する小さな次元の射影表現の存在は、それらの非同型性を示唆するか？
• RQ5 ワイエル表現は $ \mathrm{APs}(V) $ にどのように拡張され、その群構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 同型でない有限群 $ G $ と $ G_b $ が存在し、それらの表現カテゴリがテンソルカテゴリとして同値である。これは、テンソルカテゴリ構造が群を一意に決定するという仮説に対する反例を提供する。
• $ G_b = \mathrm{APs}(V) $ は、特性2の体上での $ \mathrm{Sp}(V) $ による $ V $ への非自明な拡張として構成され、$ G = \mathrm{Sp}(V) \ltimes V $ と等価表現であるが、同型ではない。
• 擬シミレクティック群 $ \mathrm{Ps}(V) $ のワイエル表現は $ \mathrm{APs}(V) $ に拡張可能だが、$ \mathrm{ASp}(V) $ には拡張できない。このことから $ \mathrm{APs}(V) \not\cong \mathrm{ASp}(V) $ が導かれる。
• 与えられた群 $ G $ と等価表現であるすべての群は、位数 $ 2^{2m} $ の正規アーベル部分群 $ A $、$ G $-不変な歪対称同型 $ R: A^\vee \to A $、および関連する類 $ \tau(\bar{R}) \in H^2(K, A) $ を用いたコホモロジー的構成により分類可能である。
• 有限群がカテゴリ的剛性をもつのは、$ 2^{2m} $ の位数の正規アーベル部分群 $ A $ が存在し、$ A^\vee \to A $ に $ G $-不変な歪対称同型が存在しない場合に限る。これは、クォータニオン群が剛性をもつ理由を説明する。
• $ \dim(Y) \geq 4 $ のとき、$ \mathrm{Sp}(V) $ と $ \mathrm{ASp}(V) $ は次元 $ 2^{\dim(Y)} $ の非自明な射影表現をもたないが、$ \mathrm{APs}(V) $ はもつ。このことから非同型性が示され、テンソル同値性が射影表現にまで拡張されないことが示される。