[論文レビュー] Isogeny graphs of superspecial abelian varieties and generalized Brandt matrices

Bruce W. Jordan, Yevgeny Zaytman|arXiv (Cornell University)|May 18, 2020

Advanced Algebra and Geometry被引用数 7

ひとこと要約

本稿は特徴標数 $p$ の $g$ 次の主に極小化された超特異アーベル多様体の $(\ell)^g$-イソogeny 図を研究し、強近似を用いてその連結性を証明する。これらの図は一般にはラマヌジャンでなく、その隣接行列は一般化されたブランドト行列として特定され、古典的理論を楕円曲線から高次元へと拡張する。

ABSTRACT

Fix primes $p$ and $\ell$ with $\ell eq p$. If $(A,P)$ is a principally polarized abelian variety, an $(\ell)^g$-isogeny of $(A,P)$ has kernel a maximal isotropic subgroup of the $\ell$-torsion of $A$; the image has a natural principal polarization. It is well known that the $\ell$-isogeny graph for supersingular elliptic curves in characteristic $p$ is connected and Ramanujan. Its adjacency matrix is the Brandt matrix $B(\ell)$ for the definite quaternion algebra $\mathbb{H}=\mathbb{H}_{p,\infty}$ ramified at $p$ and $\infty$. In this paper we study the dimension-$g$ analogue: the $(\ell)^g$-isogeny graphs of dimension-$g$ principally polarized superspecial abelian varieties in characteristic $p$. We prove using Strong Approximation that these graphs are connected. We then give an example to show that these graphs are not in general Ramanujan. The adjacency matrix of these $(\ell)^g$-isogeny graphs is a generalized Brandt matrix as defined by Ihara, Hashimoto, and Ibukiyama. We study some basic properties of these matrices.

研究の動機と目的

• 超特異楕円曲線の $\ell$-イソogeny 図の理論を、高次元の超特異アーベル多様体へと拡張すること。
• $g \geq 2$ の次元における $(\ell)^g$-イソogeny 図の連結性およびスペクトル的性質を調査すること。
• これらの図の隣接行列が、伊原、橋本、伊吹山の意味での一般化されたブランドト行列として特徴付けられること。
• これらの高次元イソogeny 図が、古典的状況と同様にラマヌジャン性質を保っているかどうかを特定すること。

提案手法

• 定義的ハミルトン代数 $\mathbb{H}_{p,\infty}$ の乗法的群の文脈における強近似を用いて、$(\ell)^g$-イソogeny 図の連結性を証明する。
• イソogeny 図の隣接行列が、次元 1 から高次元へと一般化された古典的ブランドト行列構成の延長として特定される。
• 超特異アーベル多様体の $\ell$- torsion 内の最大自己直交部分群の構造を活用して、$(\ell)^g$-イソogeny を定義する。
• これらの一般化されたブランドト行列のスペクトル的性質を分析し、図がラマヌジャンであるかどうかを評価する。
• $g > 1$ であっても一般にはラマヌジャンでないことを示す具体的な反例を構成する。
• 特に超特異アーベル多様体に関連して、定義的ハミルトン代数とその整域に関する既知の結果に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴標数 $p$ の $g$ 次の超特異アーベル多様体の $(\ell)^g$-イソogeny 図は、$g > 1$ のとき連結であるか？
• RQ2 これらの高次元イソogeny 図はラマヌジャン性質を満たすか、すなわち固有値がラマヌジャン図のスペクトル半径の境界内にあるか？
• RQ3 これらの図の隣接行列は、伊原、橋本、伊吹山が定義した一般化されたブランドト行列とどのように関係するか？
• RQ4 楕円曲線の古典的ブランドト行列理論を、$g \geq 2$ のアーベル多様体へと拡張できるか？
• RQ5 超特異アーベル多様体の文脈において、これらの一般化されたブランドト行列がどのような構造的性質を持つのか？

主な発見

• $(\ell)^g$-イソogeny 図は、強近似を用いて、$g$ 次元の超特異アーベル多様体に対して連結であることが示された。
• これらの図の隣接行列は、伊原、橋本、伊吹山の意味での一般化されたブランドト行列である。
• $g > 1$ の場合でも、具体的な反例により、これらの図は一般にはラマヌジャンでないことが示された。
• 一般化されたブランドト行列のスペクトル的性質が分析され、高次元ではラマヌジャンの境界が成り立たないことが明らかになった。
• $(\ell)^g$-イソogeny の構成は、アーベル多様体の $\ell$- torsion 内の最大自己直交部分群に依拠しており、像への主に極小化を保ったままである。
• 古典的理論である超特異楕円曲線の $\ell$-イソogeny 図を高次元アーベル多様体へと拡張し、スペクトル的挙動における重要な相違を明らかにした。