[論文レビュー] Isogeometric analysis with $C^1$ functions on unstructured quadrilateral meshes

Mario Kapl, Giancarlo Sangalli+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2018

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、解析に適した $G^1$ マルチパッチパラメータ化を用いて、非構造的四角形メッシュ上に $C^1$-滑らかで滑らかな等価的スプライン空間を構築する手法を提示する。これにより、4階偏微分方程式の最適なガラーキン離散化が可能になる。さらに、特異的頂点の周辺でスプラインを拡張することで、解析に適さない $G^1$ 積層構造への応用を拡張し、数値実験で最適収束率を達成した。

ABSTRACT

In the context of isogeometric analysis, globally $C^1$ isogeometric spaces over unstructured quadrilateral meshes allow the direct solution of fourth order partial differential equations on complex geometries via their Galerkin discretization. The design of such smooth spaces has been intensively studied in the last five years, in particular for the case of planar domains, and is still task of current research. In this paper, we first give a short survey of the developed methods and especially focus on the approach [26]. There, the construction of a specific $C^1$ isogeometric spline space for the class of so-called analysis-suitable $G^1$ multi-patch parametrizations is presented. This particular class of parameterizations comprises exactly those multi-patch geometries, which ensure the design of $C^1$ spaces with optimal approximation properties, and allows the representation of complex planar multi-patch domains. We present known results in a coherent framework, and also extend the construction to parametrizations that are not analysis-suitable $G^1$ by allowing higher-degree splines in the neighborhood of the extraordinary vertices and edges. Finally, we present numerical tests that illustrate the behavior of the proposed method on representative examples.

研究の動機と目的

• 非構造的平面的マルチパッチ領域上に、4階偏微分方程式の直接ガラーキン解法を可能にする、グローバルに $C^1$-滑らかな等価的スプライン空間を構築すること。
• 特異的頂点を有する複雑な非構造的四角形メッシュにおいて、パッチ界面を越えて $C^1$-滑らかさを維持するスプラインを構築する課題に対処すること。
• 解析に適した $G^1$ パラメータ化を超えて、特異的頂点の周辺で高次スプラインを許容することで、既存の $C^1$ 構築手法を一般マルチパッチ幾何構造へ拡張すること。
• 代表的なマルチパッチ領域におけるビハーモニック方程式および関連する偏微分方程式の数値的検証を通じて、最適収束率を確認すること。

提案手法

• パッチ界面を越えてグローバルに $C^1$ 連続性を確保するため、$C^1$-滑らかな等価的スプライン関数と $G^1$-滑らかなグラフ曲面との等価性を用いる。
• 最適近似性質を保証し、複雑な平面領域表現を可能にする、解析に適した $G^1$ マルチパッチパラメータ化の枠組みを適用する。
• 特異的頂点およびエッジの近傍でスプラインの次数を局所的に増加させることで、解析に適さない $G^1$ 積層構造への構築を拡張する。
• 高次領域では次数を低減することで、高次要素の数を最小限に抑える、洗練された空間構築法を採用するが、その結果、非ネスト空間が生じる。
• ディリクレおよびノイマン境界条件を $L^2$ 投影による強制法を用いて正確に処理する、標準的なガラーキン離散化を実装する。
• $h = 1/4, 1/8, 1/16, 1/32$ の数値的グリッド細分化を用いた収束率の検証を、多項式次数 $p = 3$ および $p = 4$ に対して実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的頂点を有する非構造的四角形メッシュ上に、最適近似性質を保ちつつ $C^1$-滑らかな等価的スプライン空間をどのように構築できるか？
• RQ2 解析に適した $G^1$ パラメータ化を超えて一般マルチパッチ幾何構造へ $C^1$ 構築を拡張するには、どのような修正が必要か？
• RQ3 ビハーモニック方程式のような4階偏微分方程式を解く際、得られた $C^1$ 等価的スプライン空間の収束挙動はいかなるものか？
• RQ4 特異的頂点の周辺での局所的次数の増強が、離散空間の条件数および近似品質に与える影響は何か？
• RQ5 次数低減に起因する非ネスト空間が生じても、最適収束率を維持できるか？

主な発見

• テストされた AS-$G^1$ マルチパッチ幾何構造において、$p=3$ および $p=4$ の両方で、$L^2$-ノルムでは $\mathcal{O}(h^{p+1})$、$H^1$-ノルムでは $\mathcal{O}(h^p)$、$H^2$-ノルムでは $\mathcal{O}(h^{p-1})$ の最適収束率を達成した。
• 数値的結果は、拡張手法を用いて構築された $C^1$ 等価的スプライン空間が、解析に適さない $G^1$ パラメータ化に対しても最適近似性質を維持していることを確認した。
• 特異的頂点の周辺で高次スプラインを用いることで、標準的手法が失敗するような複雑な幾何構造でも、パッチ界面を越えて $C^1$ 連続性を実現できるようになった。
• 空間構築法により、次数低減に起因する非ネストな離散空間族が生じるが、グリッド細分化の各レベルで収束は依然として最適であった。
• 本手法により、選択したテストケースにおいて、正確な解が機械精度まで回復可能なビハーモニック方程式のガラーキン離散化が成功裏に実現された。