[論文レビュー] Isolated Horizons: the Classical Phase Space

Abhay Ashtekar, Alejandro Corichi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 1999

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、物質や重力放射が境界を越えない非回転で、電荷を有する可能性のある孤立ホライズン—ブラックホールの境界—を扱うハミルトニアン枠組みを、ホライズンでゲージ不変性を保つ境界項を作用に導入することで構築する。主な結果は、自己双対接続に由来する表面項がシンプレクティック構造に加わることであり、これは標準的な制約、ゲージ、力学の取り扱いを変更し、量子ブラックホールエントロピーおよび一般化されたブラックホール力学の基礎を提供する。

ABSTRACT

A Hamiltonian framework is introduced to encompass non-rotating (but possibly charged) black holes that are ``isolated'' near future time-like infinity or for a finite time interval. The underlying space-times need not admit a stationary Killing field even in a neighborhood of the horizon; rather, the physical assumption is that neither matter fields nor gravitational radiation fall across the portion of the horizon under consideration. A precise notion of non-rotating isolated horizons is formulated to capture these ideas. With these boundary conditions, the gravitational action fails to be differentiable unless a boundary term is added at the horizon. The required term turns out to be precisely the Chern-Simons action for the self-dual connection. The resulting symplectic structure also acquires, in addition to the usual volume piece, a surface term which is the Chern-Simons symplectic structure. We show that these modifications affect in subtle but important ways the standard discussion of constraints, gauge and dynamics. In companion papers, this framework serves as the point of departure for quantization, a statistical mechanical calculation of black hole entropy and a derivation of laws of black hole mechanics, generalized to isolated horizons. It may also have applications in classical general relativity, particularly in the investigation of of analytic issues that arise in the numerical studies of black hole collisions.

研究の動機と目的

• 物質や放射がホライズンを越えない非回転孤立ホライズンの古典的ハミルトニアン枠組みを構築すること。
• ホライズンで重力作用が微分可能でない問題を、境界項の導入によって解決すること。
• 自己双対接続のチェーン＝シモンズ作用に由来する表面項を含むシンプレクティック構造を導出すること。
• 最小限の対称性の仮定のもとで、非定常的かつ非回転ホライズンへの標準的ブラックホール力学の一般化を図ること。
• その後の量子化および統計力学的ブラックホールエントロピー導出のための古典的基盤を提供すること。

提案手法

• 物質や重力放射がホライズンを越えない境界条件を満たすように、アインシュタイン方程式のハミルトニアン形式を定式化すること。
• 重力作用が境界で微分可能でないことが、境界項の追加がなければ成立しないことを特定すること。
• 必要な境界項が、ホライズン上での自己双対接続のチェーン＝シモンズ作用に一致することを示すこと。
• チェーン＝シモンズシンプレクティック形式に由来する表面寄与項を含むシンプレクティック構造を導出すること。
• 制約、ゲージ自由度、力学に与える影響を分析し、標準的な体積項に加えて表面項が追加されることを示すこと。
• 得られた位相空間構造を、同伴論文における量子化および統計力学への出発点として用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定常的または対称的でない孤立ホライズンに対して、どのようにハミルトニアン枠組みを構築できるか？
• RQ2 物質や重力放射がホライズンを越えないように保つ境界条件は何か？ そしてそれらは作用にどのように影響するか？
• RQ3 なぜ重力作用がホライズンで微分可能でないのか？ そしてこの問題を解消する境界項は何か？
• RQ4 境界項を追加した場合のシンプレクティック形式の構造は何か？ そして標準的な体積項とはどのように異なるか？
• RQ5 修正されたシンプレクティック構造および制約構造は、理論の力学およびゲージ自由度にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 重力作用がホライズンで微分可能になるのは、境界項が追加された場合に限る。この境界項は、ホライズン上での自己双対接続のチェーン＝シモンズ作用に一致する。
• 得られるシンプレクティック構造には、正確にチェーン＝シモンズシンプレクティック構造に由来する表面項が含まれ、標準的な体積寄与項が修正される。
• 境界条件は、定常キリングベクトルを仮定しないまま、非回転孤立ホライズンの明確な定義を与える。
• 修正されたシンプレクティック構造は、制約およびゲージ対称性の取り扱いを変更し、古典的力学に微妙だが重要な影響を与える。
• この枠組みは、量子化のための厳密な古典的基盤を提供し、後続の研究でブラックホールエントロピーの統計力学的導出を可能にする。
• このアプローチは、特にブラックホール衝突の数値シミュレーションにおける解析的課題を扱う一般相対論の古典的応用に適している。