[論文レビュー] Isolated initial singularities for the viscous Hamilton-Jacobi equation

Bidaut-Véron, Marie-Françoise, Nguyen Anh Dao|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^N$ や有界領域において、$q \geq q_* = (N+2)/(N+1)$ のとき、粘性ハミルトニアン・ジャコビ方程式 $u_t - \Delta u + |\nabla u|^q = 0$ の孤立した初期特異点の除去可能性を確立する。$1 < q < q_*$ のとき、非常に特異な解（VSS）の存在と一意性を証明し、原点における初期データの集中度に応じて、すべての非負弱解を完全に分類する。その解は、恒等的にゼロ、VSS、または $k>0$ に対する初期データ $k\delta_0$ を持つ解のいずれかである。主な貢献は、この非線形放物型方程式のクラスにおける初期特異点の完全な解構造の解明である。

ABSTRACT

Here we study the nonnegative solutions of the viscous Hamilton-Jacobi equation [u_{t}-\\Delta u+|\ abla u|^{q}=0] in $Q_{\\Omega,T}=\\Omega\ imes(0,T),$ where $q&gt;1,T\\in(0,\\infty] ,$ and $\\Omega$ is a smooth bounded domain of $\\mathbb{R}% ^{N}$ containing $0,$ or $\\Omega=\\mathbb{R}^{N}.$ We consider solutions with a possible singularity at point $(x,t)=(0,0).$ We show that if $q\\geq q_{\\ast}=(N+2)/(N+1)$ the singularity is removable.

研究の動機と目的

• $1 < q < q_* = (N+2)/(N+1)$ のとき、粘性ハミルトニアン・ジャコビ方程式における非常に特異な解（VSS）の存在と一意性という長年の未解決問題を解決すること。
• $q \geq q_*$ のとき、$(0,0)$ における孤立した初期特異点の除去可能性を確立し、半線形方程式からの古典的結果を勾配非線形性へ拡張すること。
• 有界領域 $\Omega$ におけるディリクレ問題のすべての非負弱解の完全な分類を、原点における初期特異点を前提として行うこと。
• $\mathbb{R}^N$ と有界領域の両方における解の記述を統一し、解の3通りのタイプ（ゼロ、VSS、初期データ $k\delta_0$ を持つ解）を特定すること。

提案手法

• 局所 $L^1$ および $L^q$-勾配可積分性を満たす弱解の概念を導入し、分布的意味での方程式を満たすことを定義する。
• 普遍的な推定と正則性結果を確立し、エネルギー法および比較法を用いて $q \leq 2$ のとき $C^{2,1}$-滑らかさを示す。
• 特異点付近および無限遠における解の制御のため、上界解 $Y_\eta^\Omega$ および $Y_\eta$ をバリアとして構成する。
• 縮小する領域における比較原理を適用し、初期データの滑らか化 $k\rho_\varepsilon$ を用いた近似により極限に移行する。
• トレース結果を用い、$\eta \to 0$ のとき $Y_\eta^\Omega$ が最大のVSS $Y^\Omega$ に収束することを示し、極値比較により一意性を証明する。
• 初期データ $k\delta_0$ を持つ解の極限 $k \to \infty$ を用いて、VSS $U^\Omega$ を定義し、その特徴づけを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $1 < q < q_*$ のとき、$\mathbb{R}^N$ および有界領域 $\Omega$ において、一意な非常に特異な解が存在するか？
• RQ2 $q \geq q_*$ のとき、$(0,0)$ における孤立した初期特異点は除去可能か、すなわち、すべての解が $t=0$ で滑らかに拡張可能か？
• RQ3 原点に初期特異点をもつ $Q_{\Omega,\infty}$ におけるディリクレ問題の、すべての非負弱解の完全な構造は何か？
• RQ4 有界領域における最大の非常に特異な解は、 compactly 支持された初期データを持つ解の点wise 極限として特徴づけられるか？

主な発見

• $q \geq q_* = (N+2)/(N+1)$ のとき、任意の非負解で、すべての $\varphi \in C_c(\Omega \setminus \{0\})$ に対して $\lim_{t\to 0}\int_\Omega u(\cdot,t)\varphi\,dx = 0$ を満たすものは、$t=0$ まで滑らかである。つまり、特異点は除去可能である。
• $1 < q < q_*$ のとき、有界領域 $\Omega$ に対して、$Q_{\Omega,\infty}$ 内に一意な非常に特異な解 $U^\Omega$ が存在し、すべての $r>0$ に対して $\lim_{t\to 0}\int_{B_r} u(\cdot,t)\,dx = \infty$ を満たす。
• 有界領域では、ディリクレ問題のすべての非負弱解は、恒等的にゼロ、最大の非常に特異な解 $U^\Omega$ に等しい、またはある $k>0$ に対して初期データ $k\delta_0$ を持つ解 $u^{k,\Omega}$ に等しいのいずれかである。
• 有界領域 $\Omega$ における最大の非常に特異な解 $Y^\Omega$ は、$\eta \to 0$ のとき $Y_\eta^\Omega$ の点wise 極限として得られ、$Y^\Omega \leq Y$ を満たす。ここで $Y$ は $\mathbb{R}^N$ におけるVSSである。
• VSS $U^\Omega$ の一意性は比較により証明される：任意のVSS $u$ は $u \leq Y^\Omega$ を満たし、$Y^\Omega$ はそのような最小の上界解であるため、$u = Y^\Omega$ である。
• $\mathbb{R}^N$ における解構造は完全に分類されている：任意の解は、ゼロ、VSS $U$、または $k>0$ に対する初期データ $k\delta_0$ を持つ解のいずれかであり、各クラスにおいて一意性が保証される。