[論文レビュー] Isolated singularities of positive solutions of p-Laplacian type equations in R^d

Martin Fraas, Yehuda Pinchover|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、R^dにおけるp-ラプラシアン型方程式の孤立特異点における正の解の特異点を調査し、カトウクラスのポテンシャル条件の下で除去可能な特異点定理を確立している。p > d かつ ζ = 0 の近傍で V が適切なカトウクラスに属する、または p < d かつ ζ = ∞ の近傍で同様の条件が成り立つとき、正の解は特異点を越えて連続に拡張可能であり、新しい三球不等式とウォルフポテンシャル推定を用いて、明確な漸近的挙動が導かれる。

ABSTRACT

We study the behavior of positive solutions of p-Laplacian type elliptic equations of the form Q'(u) := -p-Laplacian(u) + V |u|^(p-2) u = 0 in Omega near an isolated singular point zeta, where 1 &lt; p &lt; inf, Omega is a domain in R^d with d &gt; 1, and zeta = 0 or zeta = inf. We obtain removable singularity theorems for positive solutions near zeta. In particular, using a new three-spheres theorems for certain solutions of the above equation near zeta we prove that if V belongs to a certain Kato class near zeta and p&gt;d (respectively, p

研究の動機と目的

• R^dにおける孤立特異点の周囲でのp-ラプラシアン型方程式の正の解の挙動を分析すること。
• 孤立特異点が正の解に対して除去可能となる条件を確立すること。
• 特異点 ζ = 0 または ζ = ∞ の近傍におけるこのような解の漸近的挙動を特徴付けること。
• カトウクラスおよびフクシアン型の条件を用いて、p-調和関数の古典的結果をポテンシャルVを含む方程式へと拡張すること。
• Vに関する臨界性および可積分性の仮定の下で、p < d に対して正のリウヴィル定理を証明すること。

提案手法

• 孤立特異点近傍における解に対して、古典的な下調和関数の推定を一般化した新しい三球不等式を導入すること。
• 解の近傍における可積分性および減衰性を特徴付けるために、ウォルフポテンシャルを用いること。
• スケーリング極限 R^n → 0 または ∞ におけるポテンシャル V の極限を用いて、フクシアン特異点および弱フクシアン特異点を定義すること。
• 解の正則性を保証するため、V におけるカトウクラスの条件を用いて、ポテンシャルの局所的挙動を制御すること。
• 変分法および臨界性理論を用いて、最小成長解の解析と定数を除く一意性の分析を行うこと。
• 径対称のテスト関数および明示的な基本解を用いて、ζ の近傍における u の漸近的プロファイルを導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p-ラプラシアン方程式の正の解に対して、孤立特異点 ζ = 0 または ζ = ∞ が除去可能となるように、ポテンシャル V に課される条件は何か？
• RQ2 p と d の関係、特に古典的でない場合と古典的場合において、正の解の漸近的挙動はどのように変化するか？
• RQ3 V におけるカトウクラスの条件が、孤立特異点における解の連続性または有界性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 関連する二次形式が非負かつ臨界的である場合に、p < d に対して正のリウヴィル定理を確立できるか？
• RQ5 孤立特異点の近傍における正の解のジェルムは、漸近的比較の下で、正確に二つの同値類に分類されるか？

主な発見

• p > d かつ ζ = 0 の近傍で V がカトウクラスに属するとき、0 の穿孔近傍で Q'(u) = 0 を満たす任意の正の解は、0 に連続に拡張可能である。
• p < d かつ ζ = ∞ の近傍で V がカトウクラスに属するとき、∞ の穿孔近傍で Q'(u) = 0 を満たす任意の正の解は、∞ に連続に拡張可能である。
• p > d かつ 0 の近傍で V がカトウクラスに属するとき、解は lim_{x→0} u(x) = C < ∞ を満たし、C = 0 であるのは解が最小成長を示す場合に限る。
• p < d かつ ∞ の近傍で V がカトウクラスに属するとき、解は lim_{x→∞} u(x) = C < ∞ を満たし、C = 0 であるのは、二次形式 Q が臨界的である場合に限る。
• V が ∞ の近傍で可積分であり、p < d であるとき、解は x → ∞ で u(x) ∼ |x|^{(p−d)/(p−1)} を満たすのは、解が最小成長を示す場合に限る。
• 孤立特異点の近傍における正の解のジェルムが漸近的比較の下で正確に二つの同値類に分類されるという予想は、臨界性および正則性の結果を用いて部分的に確認された。