[論文レビュー] Isometric actions of simple groups and transverse structures: The integrable normal case

Raúl Quiroga-Barranco|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非コンパクトな単純なリー群の等長作用が擬リーマン多様体上で稠密な軌道を持つ場合のグローバル剛性結果を確立し、その作用が擬リーマン計量と軌道に正交するリーマン構造の両方を保存する場合に限り、二重商空間 $(G \times K\backslash H)/\Gamma$ 上の作用と同値であることを示している。主な貢献は、幾何的・代数的条件によるこれらの作用の特徴付けであり、正規バンドルの積分可能性の下で、接空間上に $mathfrak{so}(p,q+1)$ または $mathfrak{so}(p+1,q)$ に同型なリー代数構造が得られることを示している。

ABSTRACT

For actions with a dense orbit of a connected noncompact simple Lie group $G$, we obtain some global rigidity results when the actions preserve certain geometric structures. In particular, we prove that for a $G$-action to be equivalent to one on a space of the form $(G imes K\backslash H)/Γ$, it is necessary and sufficient for the $G$-action to preserve a pseudo-Riemannian metric and a transverse Riemannian metric to the orbits. A similar result proves that the $G$-actions on spaces of the form $(G imes H)/Γ$ are characterized by preserving transverse parallelisms. By relating our techniques to the notion of the algebraic hull of an action, we obtain infinitesimal Lie algebra structures on certain geometric manifolds acted upon by $G$.

研究の動機と目的

• 多様体上の等長 $G$-作用が二重商空間 $(G \times K\backslash H)/\Gamma$ 上の作用と同値となるグローバル剛性条件を特定すること。
• 軌道の正規バンドル $T\mathcal{O}^\perp$ の積分可能性を調べることで、$G$-軌道の横断的幾何を分析すること。
• 横断的リーマン構造を保存する $G$-作用が、有限被覆を除いて二重商作用と同型であることを特徴付けすること。
• 曲率型表現を通じて、そのような多様体の接空間上に無限小のリー代数構造を確立すること。

提案手法

• 幾何的作用と代数的群構造を結びつけるために代数的ハルルの概念を用いる。
• 擬リーマン計量と横断的リーマン構造の理論を応用し、軌道ファイブレーションを分析する。
• 正規バンドル $T\mathcal{O}^\perp$ が積分可能であることを証明することで、有限被覆を通じて $\widehat{M} \cong (G \times \widetilde{N})/\Gamma$ というグローバル分解が得られることを示す。
• 接空間上にリー代数構造を定義するための曲率型同型写像 $T_c: \wedge^2 \mathbb{R}^{p,q} \to \mathfrak{so}(p,q)$ を構成する。
• 行列表現を用いて、接空間のリー代数が $\mathfrak{so}(p,q+1)$ または $\mathfrak{so}(p+1,q)$ に同型であることを特定する。メトリック $I_{p,q}(c)$ を用いる。
• 複素化されたリー代数におけるシュールの補題を用いて、すべての $\mathfrak{so}(p,q)$-加群準同型 $\wedge^2 \mathbb{R}^{p,q} \to \mathfrak{so}(p,q)$ が、ある $c \in \mathbb{R}$ に対して $T_c$ の形に表されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等長 $G$-作用が稠密な軌道を持つ多様体上で、$(G \times K\backslash H)/\Gamma$ 上の二重商作用と同値となる条件は何か？
• RQ2 軌道に直交する正規バンドル $T\mathcal{O}^\perp$ の積分可能性が、多様体のグローバル構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 多様体上にどのような幾何的構造が存在すれば、$G$-作用が横断的リーマン計量を保存し、グローバルに二重商構造を持つようになるか？
• RQ4 このような作用を許容する多様体の接空間上に、自然にリー代数構造を定義できるか？ もしそうなら、その同型型は何か？
• RQ5 曲率型同型写像 $T_c$ は、多様体の無限小構造を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 正規バンドル $T\mathcal{O}^\perp$ が積分可能で、$G$-軌道が非退化かつ有限体積の完全な擬リーマン計量を保存する稠密な軌道を持つ多様体 $M$ 上の $G$-作用は、有限被覆を除いて $(G \times \widetilde{N})/\Gamma$ 上の作用とグローバルに同値である。
• 軌道に直交する横断的リーマン構造の存在は、有限被覆を除いて $(G \times K\backslash H)/\Gamma$ 上の作用と同型な $G$-作用を特徴付ける。
• 正規バンドル $T\mathcal{O}^\perp$ が積分可能で、作用に稠密な軌道がある場合、$M$ の普遍被覆空間は、$G$--equivariant な等長分解 $\widehat{M} \cong (G \times \widetilde{N})/\Gamma$ を持つ。
• 任意の点 $x \in M$ における接空間 $T_xM$ には、曲率型同型写像 $T_c$ によって誘導される、自然なリー代数構造が存在し、これは $\mathfrak{so}(p,q+1)$ または $\mathfrak{so}(p+1,q)$ に同型である。
• すべての $\mathfrak{so}(p,q)$-加群準同型 $\wedge^2 \mathbb{R}^{p,q} \to \mathfrak{so}(p,q)$ は、複素化代数におけるシュールの補題により、ある $c \in \mathbb{R}$ に対して $T_c$ の形に表されることが示された。
• 接空間上のリー代数構造は、行列表現 $X + u \mapsto \begin{pmatrix} X & c u \\ u^t I_{p,q} & 0 \end{pmatrix}$ およびメトリック $I_{p,q}(c)$ を用いて得られ、$\mathfrak{so}(p+q+1, \text{符号形式})$ に同型であることが確認された。