[論文レビュー] Isometric deformations of wave fronts at non-degenerate singular points

Atsufumi Honda, Kosuke Naokawa+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、一貫した接バンドルを用いて、特定の特異点（cuspidal edge、swallowtail、cuspidal cross cap）をもつ波フロントとして、実解析的Kossowski計量を実現するための基準を確立する。非放物型半正定値点と曲率線に沿った主曲率関数が与えられたとき、一意的な等長波フロント局所的構造が存在し、曲線が測地線であれば特別な測地線が平面に含まれることを示す。

ABSTRACT

Cuspidal edges and swallowtails are typical non-degenerate singular points on wave fronts in the Euclidean $3$-space. Their first fundamental forms belong to a class of positive semi-definite metrics called "Kossowski metrics". A point where a Kossowski metric is not positive definite is called a singular point or a semi-definite point of the metric. Kossowski proved that real analytic Kossowski metric germs at their non-parabolic singular points(the definition of "non-parabolic singular point" is stated in the introduction here) can be realized as wave front germs (Kossowski's realization theorem). On the other hand, in a previous work with K. Saji, the third and the fourth authors introduced the notion of "coherent tangent bundle". Moreover, the authors, with M. Hasegawa and K. Saji, proved that a Kossowski metric canonically induces an associated coherent tangent bundle. In this paper, we shall explain Kossowski's realization theorem from the viewpoint of coherent tangent bundles. Moreover, as refinements of it, we give a criterion that a given Kossowski metric can be realized as the induced metric of a germ of cuspidal edge (resp. swallowtail or cuspidal cross cap). Several applications of these criteria are given. Also, some remaining problems on isometric deformations of singularities of analytic maps are given at the end of this paper.

研究の動機と目的

• Kossowskiの実現定理を、Kossowski計量に対して一貫した接バンドルを用いて再定式化すること。
• Kossowski計量を、cuspidal edge、swallowtail、またはcuspidal cross cap局所的構造の第一基本形式として実現するための基準を提示すること。
• 特異点集合の像と第一基本形式を保つ等長変形の波フロントを調査すること。
• 特に、存在性と収束性に関する未解決問題を含む、swallowtailおよびcross capの等長変形に関する問題を扱うこと。

提案手法

• 一貫した接バンドルの理論を用いて、波フロント構造とKossowski計量を自然に関連付ける。
• 非退化特異点における特異曲線のパrametrizationに陰関数定理を適用する。
• 符号付き面積密度関数λおよびその勾配に条件を課し、非退化性を保証する。
• 第一基本形式と曲率線条件から導かれる偏微分方程式系を解くことにより、局所的等長埋め込みf: U → ℝ³を構成する。
• f_v(p) = 0となるように調整された局所座標を用い、特異点の解析を簡略化する。
• 主曲率が有界かつ実解析的であることを保証するため、e^ω(t) < m_pの条件を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非放物型半正定値点における与えられた実解析的Kossowski計量局所的構造は、cuspidal edge局所的構造の第一基本形式として実現可能か？
• RQ2 非放物型A₃点における与えられたKossowski計量局所的構造と所定の特異点集合像を持つswallowtail波フロントは存在するか？
• RQ3 swallowtail特異点に特別な測地線が存在するか？ また、その曲線は平面に含まれるか？
• RQ4 与えられた実解析的ウィリス計量は、cross cap局所的構造の第一基本形式として実現可能か？
• RQ5 cross capの等長変形に関する形式的べき級数解は、実際に実解析的解に収束するか？

主な発見

• 非放物型半正定値点における実解析的Kossowski計量局所的構造は、一意的な等長波フロント局所的構造として、cuspidal edge、swallowtail、またはcuspidal cross capとして実現可能である。
• 特徴的曲線γが特別な測地線であれば、その像f∘γは平面に含まれる。これは、パラメータ表示におけるμ(u) = 0により示される。
• 曲率線に沿った主曲率関数e^ω(t) < m_pが与えられたとき、波フロントの同値類が一意に定まる。
• 特異点集合の像を制御するcuspidal edgeおよびcuspidal cross capの等長変形の存在が確立された。
• swallowtailにおける特別な測地線の存在は未解決のままであるが、任意の次数まで形式的解が存在する。
• cross capの実現に関する形式的べき級数解は存在するが、収束性は未証明である。