[論文レビュー] Isometric Rigidity of compact Wasserstein spaces

Jaime Santos-Rodríguez|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2021

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、$M$ がコンパクトなランク1対称空間（CROSS）または正の断面曲率を持つ場合、$p \in (1, \infty)$ に対して $\mathcal{P}_p(M)$ の等長変換が、基本多様体 $M$ の等長変換にのみ由来することを示すことで、コンパクトなワサーベルシュタイン空間における等長的剛性を確立する。主な結果は、$\mathcal{P}_p(M)$ の等長群が $M$ のそれと一致することであり、これは等長変換がディラックデルタを保存することと、非分岐で正の曲率を持つ空間における最適輸送の構造的性質を用いることで達成される。

ABSTRACT

Let $(X,d,\mathfrak{m})$ be a metric measure space. The study of the Wasserstein space $(\mathbb{P}_p(X),\mathbb{W}_p)$ associated to $X$ has proved useful in describing several geometrical properties of $X.$ In this paper we focus on the study of isometries of $\mathbb{P}_p(X)$ for $p \in (1,\infty)$ under the assumption that there is some characterization of optimal maps between measures, the so called Good transport behaviour $GTB_p$. Our first result states that the set of Dirac deltas is invariant under isometries of the Wasserstein space. Additionally we obtain that the isometry groups of the base Riemannian manifold $M$ coincides with the one of the Wasserstein space $\mathbb{P}_p(M)$ under assumptions on the manifold; namely, for $p=2$ that the sectional curvature is strictly positive and for general $p\in (1,\infty)$ that $M$ is a Compact Rank One Symmetric Space.

研究の動機と目的

• コンパクトな距離測度空間 $M$ 上の $L^p$-ワサーベルシュタイン空間 $\mathcal{P}_p(M)$ の等長変換が、常に基本空間 $M$ の等長変換に由来するかどうかを特定すること。
• 曲率および構造的仮定の下で、$\mathrm{Iso}(M) = \mathrm{Iso}(\mathcal{P}_p(M))$ の意味での等長的剛性を確立すること。
• 等長的剛性の基礎となる段階として、$\mathcal{P}_p(M)$ の等長変換におけるディラックデルタ測度の不変性を調査すること。
• ユークリッド空間やハダール多様体における既知の剛性結果を、コンパクトで正の曲率を持つリーマン多様体へと拡張すること。
• 非分岐で良好な輸送行動を示す空間（GTBp）における最適輸送幾何学と巡回的単調性を用いて、$\mathcal{P}_p(M)$ 内の等長変換の構造を特徴付けること。

提案手法

• コンパクトな距離測度空間 $(X,d,m)$ が $p \in (1, \infty)$ に対して良好な輸送行動（GTBp）を満たすと仮定し、任意の $\mathcal{P}_p(X)$ の等長変換 $\Phi$ が、$\Delta_1$（ディラックデルタの集合）を保存することを証明する。
• 最適輸送計画の $p$-巡回的単調性構造と、コンパクト空間における距離の最大化性を用いて、測度の像の台の支持を制約する。
• 多様体 $M$ の次元に関する帰納法を用い、CROSSにおける点のカットリッジが、次元が低いCROSSまたは点に帰着することを活用する。
• 与えられた測度 $\mu$ が、球面およびカットリッジに台を持つ補助的測度 $\nu_0$, $\nu_1$ の間の測地線の内部に位置するように、$\mathcal{P}_p(M)$ 内で測地線を構成する。
• 等長変換が測地線とその内部点を保存することを用いて、複数の球面に台を持つ測度の像が、同じ球面上に台を持つことを示す。
• 結論として、$\Phi$ は $\mathcal{P}_p(M)$ の稠密な部分集合（例えば、有限個の台を持つ確率測度）上で自明に作用し、したがって $\mathcal{P}_p(M)$ 全体で恒等写像であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワサーベルシュタイン空間 $\mathcal{P}_p(M)$ の任意の等長変換は、常に基本多様体 $M$ の等長変換に由来するか？
• RQ2 コンパクトな距離測度空間が GTBp を満たす場合、$\mathcal{P}_p(M)$ の等長変換がディラックデルタの集合を不変に保つか？
• RQ3 $M$ がコンパクトなランク1対称空間（CROSS）または正の断面曲率を持つ閉リーマン多様体である場合、$\mathcal{P}_p(M)$ において等長的剛性を確立できるか？
• RQ4 最適輸送の構造的性質（例えば、巡回的単調性や台の挙動）は、$\mathcal{P}_p(M)$ 上の等長変換の作用をどのように制約するか？
• RQ5 コンパクトで非分岐な空間において、カットリッジは $\mathcal{P}_p(M)$ の等長変換を特徴付ける上でどのような役割を果たすか？

主な発見

• コンパクトな距離測度空間 $(X,d,m)$ が $p \in (1, \infty)$ に対して良好な輸送行動（GTBp）を満たすとき、任意の $\mathcal{P}_p(X)$ の等長変換 $\Phi$ は、ディラックデルタの集合 $\Delta_1$ を不変に保つ。
• 正の断面曲率を持つ閉リーマン多様体 $M$ に対して、$\mathcal{P}_2(M)$ の等長群は $\mathrm{Iso}(M)$ と一致する。これは $p=2$ の場合の等長的剛性を確立する。
• 任意の $p \in (1, \infty)$ に対して、$M$ がコンパクトなランク1対称空間（CROSS）である場合、$\mathrm{Iso}(M) = \mathrm{Iso}(\mathcal{P}_p(M))$ が成り立つ。これはこのクラスに対して等長的剛性を完全に証明する。
• $\mathcal{P}_p(M)$ の等長変換は、測度の支持構造を保存する：ある測度が一点を中心とする有限個の球面に台を持つ場合、その等長変換による像も同じ球面上に台を持つ。
• 等長変換 $\Phi$ はすべての有限個の台を持つ確率測度上で自明に作用し、これらが $\mathcal{P}_p(M)$ で稠密であるため、$\Phi$ は $\mathcal{P}_p(M)$ 全体で恒等写像でなければならない。
• 証明は、与えられた測度 $\mu$ を通る測地線を構成し、その端点が単純な集合（例：点質量やカットリッジ）に台を持つようにすることに依拠しており、これにより $\Phi(\mu)$ の帰納的制御が可能になる。