[論文レビュー] Isometries of the Hilbert Metric

Timothy John Speer|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、R^n 内の任意の有界な凸領域について、ヒルベルト距離の等長変換群が、射影変換群に等しいか、またはその指数が2以下であることを確立している。主な結果は、等長変換が射影的でないのは特定の方法で向きを反転させる場合に限られ、次元2では、等長的なヒルベルト幾何は常に射影的に同値である。

ABSTRACT

On any convex domain in $\mathbb{R}^n$ we can define the Hilbert metric. A projective transformation is an example of an isometry of the Hilbert metric. In this thesis we will prove that the group of projective transformations on a convex domain has at most index 2 in the group of isometries of the convex domain with its Hilbert metric. Furthermore we will give criteria for which the set of projective transformations between two convex domains is equal to the set of isometries of the Hilbert metric of these convex domains. Lastly we will show that $2$-dimensional convex domains with their corresponding Hilbert metrics are isometric if and only if they are projectively equivalent.

研究の動機と目的

• R^n 内の一般の凸領域におけるヒルベルト距離の等長変換群の構造を特定すること。
• de la Harpeの予想、すなわち Isom(Ω) が常にリー群であるかどうかを解明すること。
• すべての等長変換が射影変換である条件を確立すること。
• 2つの凸領域が射影的同値であることで等長的であることを特徴づけること。
• 対称コーン、厳密凸、多面体領域についての既知の結果を、一般の凸領域へと拡張すること。

提案手法

• 非射影的等長変換を特徴づけるために、集束点と最小コーンを分析する。
• 交比と射影不変性を用いて、特定の幾何的構造を保つ等長変換は射影的でなければならないことを示す。
• 最小コーンの概念と、等長変換下でのその挙動を応用し、任意の等長変換 τ に対して τ² が射影的であることを証明する。
• 非射影的等長変換が2つ存在する場合、それらの合成は射影的でなければならないことから、等長変換群が PGL(Ω) に対して高々指数2であることを示す。
• 漸近的幾何とコーン構造を用いて、等長変換がコーンをコーンにマップし、最小コーン構造を保存することを示す。
• 極端な直線と極端な点が等長変換の挙動を制約することを活用し、特に低次元において有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト距離の等長変換群が射影変換群に等しいのはどのような条件下か？
• RQ2 非射影的等長変換は存在しうるのか。もしあるならば、どのような構造的制約を満たさなければならないか？
• RQ3 2つの凸領域がヒルベルト距離に関して等長であるのはいつか？
• RQ4 ヒルベルト幾何の等長変換群は常にリー群か？
• RQ5 次元2において、等長的なヒルベルト幾何は常に射影的に同値か？

主な発見

• 任意の有界な凸領域 Ω ⊂ R^n に対して、ヒルベルト距離の等長変換群 Isom(Ω) は、PGL(Ω) を正規部分群として持ち、その指数は2以下である。
• 等長変換 τ: Ω → Ω′ が射影変換であるための必要十分条件は、それが集束点を持つことである。
• 凸領域 Ω に極端な直線が含まれるならば、Ω から他の領域への任意の等長変換は射影変換である。
• 次元2において、2つの凸領域はヒルベルト距離に関して等長であるための必要十分条件は、それらが射影的に同値であることである。
• コーンでない3次元領域に対しては、任意の等長変換は射影変換に他ならない。
• 等長変換群 Isom(Ω) は常にリー群であり、de la Harpeの予想を裏付けた。