[論文レビュー] Isomonodromic deformation of Lamé connections, Painlevé VI equation and Okamoto symetry

Frank Loray|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、楕円曲線上の非可約ラメ接続の等モノドロミー的変形とペインレヴィVI方程式の解との間の対応関係を確立する。このような変形は解 $ q(t) $ によってパrameter化され、基になるベクトル束の変化は、$ q(t) $ を別の解 $ \tilde{q}(t) $ に写すオカモト対称性 $ s_2s_1s_2 $ に従う。

ABSTRACT

A Lamé connection is a logarithmic $\mathrm{sl}(2,\mathbb C)$-connection $(E, abla)$ over an elliptic curve $X:\{y^2=x(x-1)(x-t)\}$, $t ot=0,1$, having a single pole at infinity. When this connection is irreducible, we show that it is invariant by the standart involution and can be pushed down as a logarithmic $\mathrm{sl}(2,\mathbb C)$-connection over $\mathbb P^1$ with poles at $0$, $1$, $t$ and $\infty$. Therefore, the isomonodromic deformation $(E_t, abla_t)$ of an irreducible Lamé connection, when the elliptic curve $X_t$ varry in the Legendre family, is parametrized by a solution $q(t)$ of the Painlevé VI differential equation $P_{VI}$. We compute the variation of the underlying vector bundle $E_t$ along the deformation via Tu moduli map: it is given by another solution $ ilde q(t)$ of $P_{VI}$ equation related to $q(t)$ by the Okamoto symetry $s_2 s_1 s_2$ (Noumi-Yamada notation). Motivated by the Riemann-Hilbert problem for the classical Lamé equation, the question whether Painlevé transcendents do have poles is raised.

研究の動機と目的

• 楕円曲線上の非可約ラメ接続の等モノドロミー的変形とペインレヴィVI方程式の解との間の対応関係を確立すること。
• ツーのモジュライ写像を用いて、等モノドロミー的変形における基になるベクトル束の変化を特徴付けること。
• 束の変換がペインレヴィVI方程式の異なる解を結ぶオカモト対称性 $ s_2s_1s_2 $ に対応することを示すこと。
• 古典的ラメ方程式のリーマン＝ヒルベルト問題を、ペインレヴィ超越関数が極を持つかどうかの問題に還元すること。
• $ \mathrm{sl}(2,\mathbb{C}) $-接続とそのモノドロミーの文脈において、基本的変換とパラボリック構造の役割を明確にすること。

提案手法

• リーマン＝ヒルベルト対応を用いて、射影的モノドロミー表現を、無限遠点に1つの極を持つ楕円曲線上の $ \mathrm{sl}(2,\mathbb{C}) $-接続として実現する。
• 等モノドロミー的変形理論を適用し、楕円曲線の複素構造 $ t $ がレジェンドル族を動くときの接続 $ (E_t, \nabla_t) $ の変化を追跡する。
• ツーのモジュライ写像を用いて、基になるベクトル束 $ E_t $ の変化を計算し、それが $ P_{VI} $ の別の解 $ \tilde{q}(t) $ に対応することを示す。
• 極におけるパラボリック束への基本的変換を用いて、接続の構造とモノドロミーの変化を分析する。
• 特に $ s_2s_1s_2 $ を用いたオカモト対称性を適用し、$ P_{VI} $ の解を関連づけ、束の変換がこの対称性に対応することを示す。
• 局所的接続行列に対する基本的変換の作用を分析し、変換後の接続行列 $ \Omega^\pm $ の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲線上の非可約ラメ接続の等モノドロミー的変形は、ペインレヴィVI方程式の解とどのように関係しているか？
• RQ2 等モノドロミー的変形における基になるベクトル束 $ E_t $ の正確な変換は何か？ そしてそれは $ P_{VI} $ 方程式にどのように符号化されているか？
• RQ3 オカモト対称性 $ s_2s_1s_2 $ は $ P_{VI} $ の解にどのように作用するか？ また、束の変換の観点から幾何学的解釈は何か？
• RQ4 古典的ラメ方程式のリーマン＝ヒルベルト問題は、ペインレヴィVI超越関数が極を持つかどうかの問題に還元可能か？
• RQ5 特に接続の固有値とモノドロミーに与える影響を含め、パラボリック $ \mathrm{sl}(2,\mathbb{C}) $-接続に対する基本的変換の効果は何か？

主な発見

• 楕円曲線上の非可約ラメ接続は標準的自己同型に関して不変であり、$ 0, 1, t, \infty $ に極を持つ $ \mathbb{P}^1 $ 上の対数的 $ \mathrm{sl}(2,\mathbb{C}) $-接続に下方に降下する。
• このようなラメ接続の等モノドロミー的変形は、ペインレヴィVI方程式の解 $ q(t) $ によってパrameter化される。
• 変形に沿ったベクトル束 $ E_t $ の変化は、$ q(t) $ とオカモト対称性 $ s_2s_1s_2 $ によって関係づけられる別の解 $ \tilde{q}(t) $ によって記述される。
• 極における基本的変換は接続の固有値を変化させる：$ \mathrm{elm}^+ $ では $ \theta_2 \mapsto \theta_2 + 1 $、$ \mathrm{elm}^- $ では $ \theta_1 \mapsto \theta_1 - 1 $ であり、モノドロミーは保存される。
• 接続が対数的であり、パラボリック構造が固有空間と一致するとき、変換後の接続も対数的であり、固有値はそれに応じてずれる。
• 接続のトレースは、残留部が $ \pm 1 $ である対数的接続とのテンソル積により変化し、パラボリック構造の変化を反映する。