[論文レビュー] Isomonodromy equations on algebraic curves, canonical transformations and Whitham equations

I. M. Krichever|ArXiv.org|Dec 11, 2001

advanced mathematical theories参考文献 12被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、代数曲線上の正則でない特異点をもつメロモーフィック接続に対する、ハミルトニアン的等モノドロミー方程式理論を構築し、明示的なシンプレクティック構造とウィタム方程式を導出する。ウィタム方程式がヒチン系のスペクトル曲線のモジュライ空間上に平坦接続を定義することを示し、Lax表現およびバーグ・アキエーゼル関数を用いて、古典的結果を高種数および正則でない特異点へ一般化する。

ABSTRACT

The Hamiltonian theory of isomonodromy equations for meromorphic connections with irregular singularities on algebraic curves is constructed. An explicit formula for the symplectic structure on the space of monodromy and Stokes matrices is obtained. The Whitham equations for the isomonodromy equations are derived. It is shown that they provide a flat connection on the space of the spectral curves of the Hitchin systems.

研究の動機と目的

• メロモーフィック接続が正則でない特異点をもつ代数曲線上における等モノドロミー方程式のハミルトニアン形式を構築すること。
• モノドロミーおよびストークスデータの空間上の明示的公式を導出すること。
• 等モノドロミー変形から生じる整合性のある発展方程式系としてのウィタム方程式を確立すること。
• ウィタム方程式がヒチン系のスペクトル曲線のモジュライ空間上に平坦接続を定義することを示すこと。
• 有理曲線および楕円曲線からの結果を一般化し、高種数の曲線および正則でない特異点をもつ場合にLax表現アプローチを拡張すること。

提案手法

• 指定された極構造および形式 $ d\Phi\Phi^{-1} $ の追加的正則特異点をもつメロモーフィック行列微分形式上のLaxペア表現を用いて、等モノドロミー方程式を表現する。
• 局所的データ（極における特異部、正則でない特異点におけるストークスデータ、および $ \alpha_s^T \beta_s = 1 $ を満たすランク1行列 $ L_{s0} = \beta_s \alpha_s^T $）を用いて接続の空間をパラメータ化し、$ \alpha_s \to \lambda_s \alpha_s, \beta_s \to \lambda_s^{-1} \beta_s $ の下での同値類として扱う。
• ゲージ変換および正規化点の変更に関して不変であるモノドロミー表現、ストークス行列、および正則でない特異点における指数の組み合わせとしてモノドロミーデータを定義する。
• Lax作用素の形式的展開における1次項を解析することで、ウィタム階層を整合性のある発展方程式系として構成する。
• リーマン・シータ関数を用いて表現されるバーグ・アキエーゼル関数 $ \psi $ 及びその双対 $ \psi^* $ を用い、複素時間 $ t = x + iy $ における発展方程式の平均化を分析する。
• 時間微分項 $ \partial_t(\psi^* L_1 \psi) $ の複素時間 $ t $ における平均がバーグ・アキエーゼル関数の準周期性により消えること、および残りの項が平均化の方向に応じて微分 $ dv^r $ または $ dv^i $ を与えることにより、スペクトル曲線モジュライ空間上の接続の平坦性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高種数の代数曲線上で、正則でない特異点をもつメロモーフィック接続に対して、等モノドロミー方程式のハミルトニアン構造をどのように明示的に構築できるか。
• RQ2 このような系におけるモノドロミーおよびストークスデータの空間上のシンプレクティック構造は何か。
• RQ3 ウィタム方程式は等モノドロミー変形問題からどのように導かれるのか。また、それらが定義する幾何的構造は何か。
• RQ4 ウィタム方程式がヒチン系のスペクトル曲線のモジュライ空間上に平坦接続をどのように定義するか。
• RQ5 複素時間 $ t $ における平均化手続きは、ウィタム方程式が平坦接続として特定されるようにどのように寄与するか。

主な発見

• 正則でない特異点をもつ代数曲線上のメロモーフィック接続に対して、任意の種数の曲線に対して有効なモノドロミーおよびストークス行列の空間上のシンプレクティック構造の明示的公式が導出された。
• ウィタム方程式が等モノドロミー変形から自然に生じる整合性のある発展方程式系であることが示された。
• ウィタム方程式は、穴 $ P_m $ における局所座標の $ h_m $-ジェットをもつ代数曲線のモジュライ空間 $ \mathcal{M}_g(h) $ 上に平坦接続を定義する。これは、種数0および1の既知の結果を一般化する。
• スペクトル曲線上での微分 $ \widetilde{k} $ の周期の実部が、ウィタム方程式の積分として特定された。
• バーグ・アキエーゼル関数の準周期性により、時間微分項 $ \partial_t(\psi^* L_1 \psi) $ の複素時間 $ t $ における平均が消えることにより、接続の平坦性が得られた。
• 写像 $ \widetilde{L}_0 \mapsto \oint_c K $ は、$ \mathcal{M}_g(h) $ 上のバンドル $ \mathcal{S} $ 上に平坦接続を定義する。接続形式は平均化の方向に応じて微分 $ dv^r $ または $ dv^i $ で与えられる。