[論文レビュー] Isomorphic groupoid C ∗ -algebras associated with different Haar systems

Mădălina Roxana Buneci|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、局所コンpaktoな群コアの軌道空間が固有である場合、同型な群コアC∗-代数が、異なるハール測度を持つ場合に生じることを確立している。局所コンパクト群コアGと、Borel集合F上の断面σ: G(0) → GFを用いてC∗-代数M∗(G, ν)を構成することで、ハール測度νの選択にかかわらず、得られるC∗-代数が∗-同型であることを証明し、ハール測度の変化に対して不変であることを示している。

ABSTRACT

We shall consider a locally compact groupoid endowed with a Haar system ν and having proper orbit space. We shall associate to each appropriate cross section σ : G (0) → G F for dF : G F → G (0) (where F is a Borel subset of G(0) meeting each orbit exactly once) a C∗-algebra M ∗ (G, ν). We shall prove that the C∗-algebras associated with different Haar systems are ∗-isomorphic.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群コアの文脈において、群コアC∗-代数がハール測度の選択にどのように依存するかを調査すること。
• 異なるハール測度が同型なC∗-代数をもたらす条件を確立すること。
• 各軌道をちょうど一度だけ通るBorel集合F上の断面を用いてC∗-代数を定義すること。
• 得られるC∗-代数がハール測度に対して∗-同型の意味で独立であることを証明すること。
• 固有軌道空間と任意のハール測度を持つ場合に、群コアC∗-代数の理論を拡張すること。

提案手法

• ハール測度νと固有軌道空間を備えた局所コンパクト群コアGを考察する。
• 各軌道とちょうど一度だけ交わるBorel集合F ⊂ G(0)を選び、断面σ: G(0) → GFを形成する。
• 群コアと選択されたハール測度νを用いてC∗-代数M∗(G, ν)を構成する。
• 群コアの構造と断面を活用して、異なるハール測度から生じる代数間の∗-準同型を定義する。
• 固有軌道空間の性質と断面の一意性を活用して、得られる写像が同型であることを証明する。
• 同型が特定のハール測度νの選択に依存しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群コアに付随するC∗-代数は、ハール測度の選択に依存するか？
• RQ2 同じ群コア上で異なるハール測度から構成されたC∗-代数が∗-同型となる条件は何か？
• RQ3 各軌道をちょうど一度だけ通るBorel集合の存在が、C∗-代数の構成にどのように影響するか？
• RQ4 固有軌道空間の性質が、異なるハール測度間での同型性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 ハール測度の選択に依存しない標準的なC∗-代数を群コアに対して定義できるか？

主な発見

• Borel集合F上の断面を用いて構成されたC∗-代数M∗(G, ν)は、ハール測度νの選択にかかわらず∗-同型の意味で独立である。
• 固有軌道空間を持つ同じ群コアにおいて、異なるハール測度が∗-同型なC∗-代数をもたらす。
• 異なるハール測度に付随する代数間の同型は、群コアと断面の構造から生じる標準的なものである。
• 断面の存在と一意性を保証するために、軌道空間の固有性が本質的である。
• σ: G(0) → GFを用いたM∗(G, ν)の構成は、異なるハール測度に対して一貫した群コアC∗-代数の定義フレームワークを提供する。
• この結果は、固有軌道空間とBorel横断集合を備えた状況において、ハール測度の変更に対する群コアC∗-代数の不変性を一般化している。