[論文レビュー] Isomorphism between Differential and Moment Invariants under Affine Transform

Erbo Li, Hua Li|arXiv (Cornell University)|May 20, 2017

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、アフィン変換下での微分不変量とモーメント不変量の同型性を確立し、既知のモーメント不変量におけるモーメントを同階数の導関数に置き換えることで、微分不変量を導出できることを示している。この手法により、既に確立されたモーメント理論を用いて、方程式を一切用いずに微分不変量を簡潔に導出可能となり、スクリーニングプロセスを経てアフィンおよび射影的微分不変量への応用が可能となる。

ABSTRACT

The invariant is one of central topics in science, technology and engineering. The differential invariant is essential in understanding or describing some important phenomena or procedures in mathematics, physics, chemistry, biology or computer science etc. The derivation of differential invariants is usually difficult or complicated. This paper reports a discovery that under the affine transform, differential invariants have similar structures with moment invariants up to a scalar function of transform parameters. If moment invariants are known, relative differential invariants can be obtained by the substitution of moments by derivatives with the same order. Whereas moment invariants can be calculated by multiple integrals, this method provides a simple way to derive differential invariants without the need to resolve any equation system. Since the definition of moments on different manifolds or in different dimension of spaces is well established, differential invariants on or in them will also be well defined. Considering that moments have a strong background in mathematics and physics, this technique offers a new view angle to the inner structure of invariants. Projective differential invariants can also be found in this way with a screening process.

研究の動機と目的

• アフィン変換下での微分不変量とモーメント不変量の構造的同型性を確立すること。
• 複雑な方程式系を解かずに微分不変量を体系的に導出する手法を提供すること。
• アフィン不変量に対するスクリーニングプロセスを用いて、射影的微分不変量の枠組みを拡張すること。
• 数学および物理学におけるモーメント理論の整備された理論を活用し、不変量の内部構造に関する新たな知見を提供すること。

提案手法

• 既知のモーメント不変量におけるモーメントを、変換パラメータのスカラー関数を除き、同階数の導関数に置き換えることで微分不変量を導出する。
• 中心モーメントおよびその多項式表現を用いて、アフィン変換下での並進不変微分不変量を構築する。
• 変換の次数に応じて、ヤコビアン行列式 $ J $ を分母に用い、生成関数 $ g $ の数を補正するスケーリング要因として適用する。
• 生成関数 $ g $ を用いて、特定の次数および順序の不変量を体系的に構築する。ここで $ g $ は点集合上に定義される。
• アフィン微分不変量をスクリーニングし、関数的形および対称性に基づいて射影変換のもとでも不変となるものを同定する。
• 既知の多項式形に直接代入することで不変量を検証し、文献に既存の結果と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン変換下での微分不変量は、構造的同型性を用いてモーメント不変量から体系的に導出可能か？
• RQ2 ヤコビアン行列式 $ J $ は、モーメント不変量を微分不変量に変換する過程で果たす役割は何か？
• RQ3 生成関数フレームワークを用いて、任意の順序および次数の不変量をどのように構築できるか？
• RQ4 どのアフィン微分不変量が射影群のもとでも不変であり、それらを特徴づける条件は何か？
• RQ5 モーメント不変量と微分不変量の同型性は、高次元空間および多様体へと拡張可能か？

主な発見

• 本稿では、アフィン変換下での微分不変量が、変換パラメータのスカラー関数を除き、モーメント不変量と同じ構造的形をしていることを証明している。
• 式 (9) のモーメント不変量から導出された1次微分不変量は、回転不変性を有するラプラシアン演算子に対応している。
• 2次モーメント不変量から導出された式 (24) の微分不変量は、アフィン不変量であり、$ J^{-2} $ を分母に持つ3次多項式としての導関数の形を有していることが示された。
• 3次元の射影的微分不変量は、生成関数 $ \frac{1}{2}g(1,2,3)g(2,3,4) $ を用いて構築され、導関数の4次同次多項式としての形をとり、$ J_3^{-2} $ のスケーリング因子を有している。
• 本手法により、微分方程式や代数的システムを解くことなく、モーメントに基づく多項式置換のみに依存して微分不変量を導出可能である。
• 予想1では、$ g(1,2,...,m-1)g(2,3,...,m) $ の形をとる生成関数が、$ m $ 次元空間における射影的微分不変量を定義可能であると示唆している。