[論文レビュー] Isomorphism-free lexicographic enumeration of triangulated surfaces and 3-manifolds

T. Sulanke, Frank H. Lutz|ArXiv.org|Sep 30, 2006

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2次元および3次元の多様体の同型写像を含まない辞書式順序による列挙アルゴリズムを提示しており、従来の手法に比べて大幅に効率が向上している。この手法は、正規形を体系的に探索することで、同型写像を除いたすべての組み合わせ的に異なる三角形分割を生成し、11頂点の三角形分割された曲面および3次元多様体の完全な列挙を可能にした。これにより、17,263,8650個の異なる3次元多様体と、30個の頂点最小のℝℙ³の三角形分割が得られた。

ABSTRACT

We present a fast enumeration algorithm for combinatorial 2- and 3-manifolds. In particular, we enumerate all triangulated surfaces with 11 and 12 vertices and all triangulated 3-manifolds with 11 vertices. We further determine all equivelar polyhedral maps on the non-orientable surface of genus 4 as well as all equivelar triangulations of the orientable surface of genus 3 and the non-orientable surfaces of genus 5 and 6.

研究の動機と目的

• 同型写像を含まない、効率的な2次元および3次元多様体の組み合わせ的同型写像まででの列挙アルゴリズムの開発。
• 11頂点および12頂点の三角形分割された曲面の完全なリストの算出。
• 11頂点の三角形分割3次元多様体の列挙およびその位相的・組み合わせ的型の分類。
• 特定の3次元多様体、特にℝℙ³およびレンズ空間を三角形分割するための最小頂点数の特定。
• 特定の曲面、例えば非可換な4位相の曲面および可換な3位相の曲面における等辺三角形分割の同定。

提案手法

• 正規形における辞書式順序による列挙を用い、同型写像を除いて各三角形分割が1度だけ生成されることを保証する。
• 同型写像のコピーが生成されないように、枝刈りを施した深さ優先探索を用いる。
• 組み合わせ的不変性を保ちながら、三角形（四面体）のすべての可能な集合を辞書式順序で体系的に探索する。
• 頂点のリンクがPL球であるという事実を活用し、探索の初期段階で有効な三角形分割をフィルタリングする。
• 最適化されたデータ構造と組み合わせ的チェックを用いて、有効な単体的複体の列挙を高速化する実装（lextri）を採用する。
• 小規模な三角形分割では、オイラー標数と可換性を用いたヒューリスティックな方法により位相的型を決定し、3次元球面の識別に既知のアルゴリズムを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 11頂点および12頂点の三角形分割された2次元多様体は、組み合わせ的同型写像を除いて何個存在するか？
• RQ2 11頂点の三角形分割された3次元多様体はいくつ存在し、それらの位相的および組み合わせ的型は何か？
• RQ3 特定の3次元多様体、例えばℝℙ³およびレンズ空間を三角形分割するための最小頂点数は何か？
• RQ4 特定の曲面、例えば非可換な4位相の曲面および可換な3位相の曲面に対して、等辺三角形分割は存在するか？
• RQ5 11頂点のすべての3次元球面はシェーリング可能か？また、既知の最小の非シェーリング可能な3次元球面はいくつの頂点を持つか？

主な発見

• 11頂点の異なる三角形分割された3次元多様体は正確に17,263,8650個存在する。
• 3次元球面S³は11頂点で166,564,303個の三角形分割を持ち、ℝℙ³は正確に30個の頂点最小の三角形分割を持つ。
• ℝℙ³の最小三角形分割には11頂点が必要であり、Walkupの三角形分割（f-vector (11,51,80,40)）は頂点および面の両方で最小のものである。
• 11頂点のすべての3次元球面はシェーリング可能であり、既知の最小の非シェーリング可能な3次元球面は13頂点を持つ。
• 10頂点の三角形分割された3次元球体は18,313,63502個存在し、そのうち277,479個は非シェーリング可能である。
• 連結和 (S²×S¹)#(S²×S¹) および (S²×̃S¹)#(S²×̃S¹) を三角形分割するための最小頂点数は12である。