[論文レビュー] Isomorphism problems for tensors, groups, and cubic forms: completeness and reductions

Joshua A. Grochow, Youming Qiao|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2019

Tensor decomposition and applications参考文献 73被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、テンソル、p-群、3次形式、代数の同型問題の間で包括的な同値性を確立し、これらがすべて多項式時間で互いに還元可能であることを示している—これはTI-completeと呼ばれる新たな計算複雑性クラスを形成する。さらに、d ≥ 3 に対してd-テンソル同型問題が3-テンソル同型問題に還元可能であることを証明し、指数pでクラス2のp-群のための新規な探索-意思決定還元を、グラフ彩色のガジェットの線形代数的類似物を用いて提示している。

ABSTRACT

In this paper we consider the problems of testing isomorphism of tensors, $p$-groups, cubic forms, algebras, and more, which arise from a variety of areas, including machine learning, group theory, and cryptography. These problems can all be cast as orbit problems on multi-way arrays under different group actions. Our first two main results are: 1. All the aforementioned isomorphism problems are equivalent under polynomial-time reductions, in conjunction with the recent results of Futorny-Grochow-Sergeichuk (Lin. Alg. Appl., 2019). 2. Isomorphism of $d$-tensors reduces to isomorphism of 3-tensors, for any $d \geq 3$. Our results suggest that these isomorphism problems form a rich and robust equivalence class, which we call Tensor Isomorphism-complete, or TI-complete. We then leverage the techniques used in the above results to prove two first-of-their-kind results for Group Isomorphism (GpI): 3. We give a reduction from GpI for $p$-groups of exponent $p$ and small class ($c < p$) to GpI for $p$-groups of exponent $p$ and class 2. The latter are widely believed to be the hardest cases of GpI, but as far as we know, this is the first reduction from any more general class of groups to this class. 4. We give a search-to-decision reduction for isomorphism of $p$-groups of exponent $p$ and class 2 in time $|G|^{O(\log \log |G|)}$. While search-to-decision reductions for Graph Isomorphism (GI) have been known for more than 40 years, as far as we know this is the first non-trivial search-to-decision reduction in the context of GpI. Our main technique for (1), (3), and (4) is a linear-algebraic analogue of the classical graph coloring gadget, which was used to obtain the search-to-decision reduction for GI. This gadget construction may be of independent interest and utility. The technique for (2) gives a method for encoding an arbitrary tensor into an algebra.

研究の動機と目的

• 代数、群論、テンソル論における多様な同型問題を、共通の複雑性枠組みの下で統一すること。
• 任意の体上でのd-テンソル、p-群、3次形式、代数の同型問題の間で多項式時間還元を確立すること。
• 任意のd ≥ 3 に対してd-テンソル同型問題が3-テンソル同型問題に還元可能であることを証明すること。
• 指数pでクラス2のp-群の同型問題のための新しい探索-意思決定還元を開発すること。
• 同型問題の還元を統一するために、グラフ彩色のガジェットの線形代数的類似物を導入すること。

提案手法

• 著者たちは、代数、3次形式、群などの代数的構造の同型問題をモデル化するために、多方向配列（テンソル）への群作用を用いる。
• 古典的なグラフ彩色ガジェットにインspiredされた線形代数的ガジェットを構築し、テンソルと群の同型問題の文脈における還元を可能にする。
• d-テンソル同型問題から3-テンソル同型問題への還元は、代数的構成を用いて高次元テンソルを3次元テンソルに符号化することで行われ、同型不変量を保存する。
• 指数pでクラス < p のp-群に対しては、群構造と同型型を保存する新しい変換を用いて、同型問題をクラス2のケースに還元する。
• 新しいガジェット技術を用いて探索を意思決定クエリでシミュレートすることで、指数pでクラス2のp-群の同型問題に対して、時間 |G|O(log log |G|) で探索-意思決定還元を達成する。
• 証明技法は、GL(n, F) における安定化部分群の計算と、特に3次形式における同次多項式の因数分解パターンの分析に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル、p-群、3次形式、代数の同型問題はすべて多項式時間同値であるか？
• RQ2 d ≥ 3 に対してd-テンソル同型問題は3-テンソル同型問題に還元可能か？
• RQ3 指数pでクラス2のp-群の同型問題に対して、探索-意思決定還元は存在するか？
• RQ4 指数pでクラス < p のp-群の同型問題は、クラス2のケースに還元可能か？
• RQ5 グラフ彩色ガジェットの線形代数的類似物を用いて、同型問題の間の還元を統一できるか？

主な発見

• テンソル、p-群、3次形式、代数、および関連構造の同型問題はすべて多項式時間同値であり、TI-complete と呼ばれる新たな複雑性クラスを形成する。
• 任意の体上でのd ≥ 3 に対してd-テンソル同型問題は3-テンソル同型問題に還元可能である。
• 指数pでクラス < p のp-群の同型問題は、指数pでクラス2のp-群の同型問題に還元可能であり、これは以前は未知で、最も困難なケースであると信じられていた。
• 指数pでクラス2のp-群の同型問題に対して、時間 |G|O(log log |G|) で探索-意思決定還元が達成され、これはこの文脈で初めて非自明な同様の還元である。
• 還元技法は、古典的なグラフ彩色ガジェットを一般化する線形代数的ガジェット構成に依存しており、代数的同型問題における新たな還元を可能にする。
• 同型問題の同値性は、安定化部分群の分析と、特に任意の体上での同次多項式（特に3次形式）の因数分解特性を介して確立される。