[論文レビュー] Isomorphisms in Multilayer Networks

Mikko Kivelä, Mason A. Porter|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

Complex Network Analysis Techniques被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、頂点ラベルやレイヤー ラベル、または両方の置換に基づく複数の同型性を導入することで、グラフ同型性をマルチレイヤー ネットワークに一般化する。マルチレイヤー ネットワークの同型性問題を頂点彩色グラフ同型性問題に還元し、既存のソフトウェアの利用を可能にするとともに、グラフ同型性と同一の計算複雑性クラスに属することを証明する。このフレームワークにより、マルチプレックス、時系列、相互接続ネットワークのあらゆる種類の同型性定義が統一される。

ABSTRACT

We extend the concept of graph isomorphisms to multilayer networks with any number of "aspects" (i.e., types of layering). In developing this generalization, we identify multiple types of isomorphisms. For example, in multilayer networks with a single aspect, permuting vertex labels, layer labels, and both vertex labels and layer labels each yield different isomorphism relations between multilayer networks. Multilayer network isomorphisms lead naturally to defining isomorphisms in any of the numerous types of networks that can be represented as a multilayer network, and we thereby obtain isomorphisms for multiplex networks, temporal networks, networks with both of these features, and more. We reduce each of the multilayer network isomorphism problems to a graph isomorphism problem, where the size of the graph isomorphism problem grows linearly with the size of the multilayer network isomorphism problem. One can thus use software that has been developed to solve graph isomorphism problems as a practical means for solving multilayer network isomorphism problems. Our theory lays a foundation for extending many network analysis methods --- including motifs, graphlets, structural roles, and network alignment --- to any multilayer network.

研究の動機と目的

• 複数の側面（例：レイヤー、時間、接続タイプ）を持つマルチレイヤー ネットワークにおける同型性関係を形式化すること。
• マルチプレックス、時系列、相互接続ネットワークなど、さまざまなネットワークタイプの間で同型性定義を統一する理論的枠組みに統合すること。
• マルチレイヤー ネットワークの同型性問題を、実用的な計算が可能な標準の頂点彩色グラフ同型性問題に還元すること。
• マルチレイヤー ネットワークの同型性がグラフ同型性と計算的に同等であることを確立し、同じ複雑性クラスに属することを示すこと。

提案手法

• 頂点とレイヤーに対する置換群の作用に基づき、マルチレイヤー ネットワークの同型性を定義し、頂点、レイヤー、および両方の置換を区別する。
• マルチレイヤー ネットワーク M を頂点彩色グラフ G に写像する関数 fp を構築し、構造的同値性を保持する。
• 関数 gp を用いて、マルチレイヤー ネットワークから頂点彩色グラフへの置換の持ち上げを行い、同型性の整合性を保証する。
• M ≅p M′ が成り立つのは、fp(M) ≅ fp(M′) が成り立つときであり、かつそのときに限ることを証明し、マルチレイヤー同型性を標準的グラフ同型性に還元する。
• 還元が時間計算量において多項式的であり、空間計算量において線形であることの証明を行い、既存の GI ソフトウェアの利用を可能にする。
• 具体的な例を通じて、このフレームワークを用いてマルチプレックス、時系列、相互接続ネットワークの同型性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間、接続タイプ、相互依存性などの複数の側面を持つマルチレイヤー ネットワークに、グラフ同型性をどのように一般化できるか。
• RQ2 頂点、レイヤー、または両方を置換することで生じる、マルチレイヤー ネットワークにおける同型性の種別は何か。
• RQ3 構造的同値性を保持しながら、マルチレイヤー ネットワークの同型性問題を標準のグラフ同型性問題に還元できるか。
• RQ4 マルチレイヤー ネットワークの同型性の計算複雑性は何か。また、グラフ同型性問題とどのように関係しているか。
• RQ5 このフレームワークは、マルチプレックスや時系列ネットワークのような多様なネットワークタイプの同型性定義を、どのように統一できるか。

主な発見

• マルチレイヤー ネットワークの同型性は、多項式時間内で頂点彩色グラフ同型性問題に還元可能であり、変換後のグラフのサイズは元のマルチレイヤー ネットワークのサイズに比例して線形に増加する。
• マルチレイヤー ネットワーク間の同型性関係 ∼=p は、写像 fp による対応する頂点彩色グラフの同型性と等価である。
• このフレームワークにより、既存のグラフ同型性ソフトウェアを用いてマルチレイヤー ネットワークの同型性問題を解くことが可能になり、実用的応用性が著しく向上する。
• マルチレイヤー ネットワークの同型性の計算複雑性は、グラフ同型性と同一のクラスに属しており、実用的利用に耐えることが確認される。
• 理論的枠組みにより、モチーフ、グラフレット、構造的役割、ネットワークアラインメントといったネットワーク解析ツールの拡張が、任意のマルチレイヤー ネットワーク構造に適用可能になる。
• 還元による同型性は単射的かつ構造を保存するため、マルチレイヤー ネットワークにおける同型性が、頂点彩色グラフ表現における同型性に正確に対応する。