[論文レビュー] Isoparametric foliation and a problem of Besse on generalizations of Einstein condition

Zizhou Tang, Wenjiao Yan|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、球面上の4つの主曲率をもつ等光超曲面に由来する焦点的部分多様体の幾何的性質を調査する。OT-FKM構成と曲率解析を用いて、これらの焦点的部分多様体が $τ$-多様体（アインシュタインとスカラー曲率条件の中間クラス）であることを証明し、特定のケースを除きリッチ平行でないことを示し、ベッセの一般化されたアインシュタイン条件に関する未解決問題に対して無限に多くの単連結な例を提供する。

ABSTRACT

The focal sets of isoparametric hypersurfaces in spheres with g = 4 are all Willmore submanifolds, being minimal but mostly non-Einstein ([TY1], [QTY]). Inspired by A.Gray's view, the present paper shows that, these focal sets are all A- manifolds but rarely Ricci parallel, except possibly for the only unclassified case. As a byproduct, it gives infinitely many simply-connected examples to the problem 16.56 (i) of Besse concerning generalizations of the Einstein condition.

研究の動機と目的

• 球面上の $g=4$ の等光超曲面の焦点的部分多様体が、最小性よりも強い曲率条件（例えばリッチ平行性や $τ$-多様体条件）を満たすかどうかを特定すること。
• これらの部分多様体の幾何的構造に関して長年の未解決問題である、特にリッチ平行性または $τ$-条件を満たすかどうかを解明すること。
• ベッセの問題 16.56(i) におけるアインシュタイン条件の一般化に関する、新たな単連結な例を提供すること。
• OT-FKM構成と正規バンドルの幾何を用いて、焦点的部分多様体の曲率テンソルおよびリッチ曲率を分析すること。
• 唯一の $τ$-多様体性の可能性がある例外は、分類されていないケース $(m_1,m_2)=(7,8)$ に限ることを証明すること。

提案手法

• 対称クライフォード系と4次同次多項式を用いた、球面上の等光関数の OT-FKM 構成を利用する。
• このような関数の焦点的部分多様体 $M_1 = f^{-1}(1)$ および $M_2 = f^{-1}(-1)$ を分析し、そのリッチ曲率と正規バンドル構造に注目する。
• ガウス方程式を用いて、正規ベクトルの正規直交基底に対応する形状作用素 $A_\alpha$ を用いてリッチ曲率を計算する。
• テンソル $\widetilde{A}$ と $\widetilde{B}$ を用いた曲率推定を適用し、截曲率の上界を評価し、リッチ曲率の挙動を分析する。
• クネンプの定理とベッチ数の計算を用いて、積構造が存在しないことを排除し、これにより曲率の上限と矛盾しないことを示す。
• FKM（フェルス・カーチャー・ミュンツナー）の結果を応用し、最大リッチ曲率をとる特別な点集合 $\Omega \subset M_1$ の存在を用いて、非一様性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面上の $g=4$ の等光超曲面の焦点的部分多様体はリッチ平行か？
• RQ2 これらの焦点的部分多様体は $τ$-多様体条件（循環平行リッチテンソル）を満たすか？
• RQ3 これらの部分多様体は、ベッセの問題 16.56(i) におけるアインシュタイン条件の一般化に関する例として用いられるか？
• RQ4 これらの焦点的部分多様体のリッチ曲率の構造は何か？ また、異なる多重度対 $(m_1,m_2)$ によって変化するか？
• RQ5 唯一の分類されていないケース $(m_1,m_2)=(7,8)$ が、$τ$-多様体性の唯一の可能性がある例外か？

主な発見

• すべての $g=4$ の等光超曲面の焦点的部分多様体は $τ$-多様体であるが、$(m_1,m_2)=(7,8)$ の場合を除いてはそうである。
• 焦点的部分多様体がリッチ平行であるための必要十分条件は、それらが $τ$-多様体であることである。これは $\mathcal{P} = \mathcal{A} \cap \mathcal{B}$ の同値性による。
• $(m_1,m_2)=(3,4k)$ の OT-FKM 型において、部分多様体 $M_1$ は一様ではない。これは最大リッチ曲率をとる真部分集合 $\Omega \subset M_1$ の存在によって示される。
• 部分多様体 $M_1$ のリッチ曲率は、3次元部分空間 $\bigcap_{i=0}^3 \mathrm{Ker} A_{N_i}$ において最大値 $2l - 6$ をとるが、それ以外の点では厳密に小さい。
• 焦点的部分多様体の截曲率は2で上界をもつが、等号が成り立つのは特定の曲率構成の場合に限る。
• 本稿では、アインシュタインでないが $τ$-多様体である単連結な例を無限に構成し、ベッセの問題 16.56(i) を解決した。