[論文レビュー] Isoparametric submanifolds and a Chevalley-type restriction theorem

Ernst Heintze, Xiaobo Liu+1 more|ArXiv.org|Apr 6, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 55

ひとこと要約

本稿は、任意のリーマン多様体における任意のcodimensionを持つ等パラメトリック部分多様体の一般化された定義を導入し、超曲面からの古典的概念を拡張する。コンパクトな対称空間上のラプラシアンの固有関数とその部分多様体の断面における固有関数を結びつけるチェヴァリーような制限定理を確立し、平坦な断面をもつ等パラメトリック部分多様体が固有関数の等高線であることを示し、表現論と深く関連していることを示している。

ABSTRACT

We define and study isoparametric submanifolds of general ambient spaces and of arbitrary codimension. In particular we study their behaviour with respect to Riemannian submersions and their lift into a Hilbert space. These results are used to prove a Chevalley type restriction theorem which relates by restriction eigenfunctions of the Laplacian on a compact Riemannian manifold which contains an isoparametric submanifold with flat sections to eigenfunctions of the Laplacian of a section. A simple example of such an isoparametric foliation is given by the conjugacy classes of a compact Lie group and in that case the restriction theorem is a (well known) fundamental result in representation theory. As an application of the restriction theorem we show that isoparametric submanifolds with flat sections in compact symmetric spaces are level sets of eigenfunctions of the Laplacian and are hence related to representation theory. In addition we also get the following results. Isoparametric submanifolds in Hilbert space have globally flat normal bundle, and a general result about Riemannian submersions which says that focal distances do not change if a submanifold of the base is lifted to the total space.

研究の動機と目的

• 超曲面からの古典的等パラメトリック部分多様体の概念を、一般のリーマン多様体における任意のcodimensionの部分多様体へ拡張すること。
• コンパクトな対称空間上のラプラシアンの固有関数と、等パラメトリック部分多様体の断面における固有関数を結びつけるチェヴァリー型制限定理を確立すること。
• コンパクトな対称空間における平坦な断面をもつ等パラメトリック部分多様体が、ラプラシアンの固有関数の等高線であることを示すこと。
• ヒルバート空間におけるこのような部分多様体が、全空間にわたって平坦な正規バンドルをもつことを証明し、リーマン的測度の下での挙動を分析すること。
• コンパクトなリー群上の極座標的作用が、制限同型写像を通じて表現論と関連する等パラメトリック部分多様体を生成することを示すこと。

提案手法

• 平坦な正規バンドル、平行部分多様体の一定の平均曲率、および法空間に接する完全測地的部分多様体（断面）の存在を用いた等パラメトリック部分多様体の定義。
• リーマン的測度を用いて、焦点距離および幾何的構造が全空間への上昇においてどのように保存されるかを分析すること。
• ヒルバート空間への部分多様体の上昇により、無限次元幾何学を活用し、正規バンドルの全空間における平坦性を証明すること。
• ユークリッド空間における等パラメトリック部分多様体に関するテングの定理を応用し、有限商を構成することで局所的単射性の問題を解決し、埋め込み部分多様体を得ること。
• 法ベクトル場による摂動を導入し、曲率法線が異なる長さを持つようにすることで、被覆空間技法を用いた全空間埋め込みを可能にする。
• 曲率球に沿ったベクトル場のフローを用いて、各曲率円ごとの同値点の数が一定であることを証明し、商が滑らかな多様体であることを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等パラメトリック部分多様体の概念を、超曲面を超えて一般のリーマン多様体における任意のcodimensionにどのように一般化できるか？
• RQ2 コンパクトな対称空間から断面への固有関数の制限が同型写像を与える条件は何か？ そしてこれは表現論とどのように関係するか？
• RQ3 ヒルバート空間における等パラメトリック部分多様体が全空間にわたって平坦な正規バンドルをもつために必要な幾何的条件は何か？
• RQ4 リーマン的測度は、等パラメトリック部分多様体の焦点距離および幾何的構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 コンパクトなリー群上の極座標的作用が、どの程度まで、固有関数の等高線である等パラメトリック部分多様体を生成するか？

主な発見

• 本稿は、チェヴァリー型制限定理を証明した：コンパクトな対称空間 X から断面 Σ への制限は、X 上のラプラシアンの固有関数の有限和の空間（等パラメトリックファイブレーションに沿って定数であるもの）と、Σ 上のラプラシアンの固有関数の空間（平行部分多様体との交わりに沿って定数であるもの）との間に同型写像を誘導する。
• コンパクトな対称空間における平坦な断面をもつ等パラメトリック部分多様体は、ラプラシアンの固有関数の等高線に正確に一致する。これにより、スペクトル幾何学および表現論との直接的な関係が確立される。
• ヒルバート空間における等パラメトリック部分多様体は、全空間にわたって平坦な正規バンドルをもつ。これは、曲率法線の長さの分離と商構成から得られる結果である。
• X 上の固有関数から断面 Σ 上の固有関数への制限写像は同型写像である。これは、多項式から固有関数への古典的チェヴァリー定理の一般化である。
• 任意のコンパクトな対称空間 X 内の等パラメトリック部分多様体 M に対して、曲率円を用いて定義される同値関係 M/~ による商は滑らかな多様体であり、f による像は、全空間にわたって平坦な正規バンドルをもつ埋め込み多様体である。
• 法ベクトル場の摂動による構成により、曲率法線が異なる長さを持つようになり、被覆空間技法を用いた全空間埋め込みが可能になる。