[論文レビュー] Isospectral commuting variety and the Harish-Chandra D-module

Victor Ginzburg|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ハリシュ＝チャンドラ $\mathcal{D}$-加群の関連層の層のグレーディングと、等スペクトル可換多様体の正規化の構造層との間に同型を確立し、それがコhen＝マカウルおよびゴレンシュタインであることを証明する。$\mathfrak{gl}_n$ の場合、これはヒルベルトスキーム上の局所自由層がプロセッチバンドルと同型であることを示し、M. ハイマンの予想を確認する。

ABSTRACT

Let g be a complex reductive Lie algebra with Cartan algebra h. Hotta and Kashiwara defined a holonomic D-module M, on g x h, called Harish-Chandra module. We give an explicit description of gr(M), the associated graded module with respect to a canonical Hodge filtration on M. The description involves the isospectral commuting variety, a subvariety X of g x g x h x h which is a finite extension of the variety of pairs of commuting elements of g. Our main result establishes an isomorphism of gr(M) with the structure sheaf of the normalization of X. It follows, thanks to the theory of polarized Hodge modules, that the normalization of the isospectral commuting variety is Cohen-Macaulay and Gorenstein, confirming a conjecture of M. Haiman. In the special case where g=gl_n, there is an open subset of the isospectral commuting variety that is closely related to the Hilbert scheme of n points in the plane. The sheaf gr(M) gives rise to a locally free sheaf on the Hilbert scheme. We show that the corresponding vector bundle is isomorphic to the Procesi bundle that plays an important role in the work of M. Haiman.

研究の動機と目的

• ハリシュ＝チャンドラ $\mathcal{D}$-加群 $\mathcal{M}$ が $\mathfrak{g} \times \mathfrak{t}$ 上にあり、標準的なホッジフィルトレーションに関する関連層 $\operatorname{gr} \mathcal{M}$ を記述すること。
• $\operatorname{gr} \mathcal{M}$ を等スペクトル可換多様体 $\mathfrak{X} \subset \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \times \mathfrak{t} \times \mathfrak{t}$ と関係づけること。これは $\mathfrak{g}$ 内の可換なペアの多様体の有限被覆である。
• 等スペクトル可換多様体の正規化がコhen＝マカウルおよびゴレンシュタインであることを証明し、M. ハイマンの予想を確認すること。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_n$ の場合に、層 $\operatorname{gr} \mathcal{M}$ と $\mathbb{C}^2$ 内の $n$ 個の点のヒルベルトスキームとの間の幾何的関係を確立し、誘導されるベクトル束をプロセッチバンドルと同定すること。

提案手法

• 正規的 $\mathcal{D}$-加群 $\mathcal{M}$ 上のホッジフィルトレーションを用いて、関連層 $\operatorname{gr} \mathcal{M}$ を定義する。
• 可換なペアとその固有値をパラメトライズする、可換スキーム $\mathfrak{C} \subset \mathfrak{g} \times \mathfrak{g}$ の有限被覆として等スペクトル可換多様体 $\mathfrak{X}$ を構成する。
• 極化されたホッジ加群の理論を適用し、$\mathfrak{X}$ の正規化がコhen＝マカウルおよびゴレンシュタインであることを導く。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_n$ の場合、$\mathfrak{X}$ の開部分集合を $\mathbb{C}^2$ 内の $n$ 個の点のヒルベルトスキームと同定し、$\operatorname{gr} \mathcal{M}$ が局所自由層に誘導され、それがプロセッチバンドルと同型であることを示す。
• 同型 $G \times_{N(T)} \mathfrak{T}^r \xrightarrow{\sim} \mathfrak{C}^{rs}$ を用いて、$\mathfrak{C}$ の大域的構造を商 $\mathfrak{T}/W$ と関係づけ、$\mathfrak{X}$ の特異点を分析する。
• 中心化子とルート超平面の性質および次元数え上げを用いて、$\mathfrak{C}_{\mathfrak{l}}(\mathfrak{g}) \setminus \mathfrak{C}^{rr}$ 内の特異点集合の余次元を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハリシュ＝チャンドラ $\mathcal{D}$-加群の関連層 $\operatorname{gr} \mathcal{M}$ は、等スペクトル可換多様体 $\mathfrak{X}$ の正規化の構造層と同型であるか？
• RQ2 M. ハイマンの予想に従い、等スペクトル可換多様体の正規化はコhen＝マカウルおよびゴレンシュタインであるか？
• RQ3 $\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_n$ の場合、$\mathfrak{g} \times \mathfrak{t}$ 上の層 $\operatorname{gr} \mathcal{M}$ は、$\mathbb{C}^2$ 内の $n$ 個の点のヒルベルトスキーム上にベクトル束を誘導するか？
• RQ4 ヒルベルトスキーム上に誘導されるベクトル束は、プロセッチバンドルと同型であるか？

主な発見

• 関連層 $\operatorname{gr} \mathcal{M}$ は、等スペクトル可換多様体 $\mathfrak{X}$ の正規化の構造層と同型である。
• 等スペクトル可換多様体の正規化はコhen＝マカウルおよびゴレンシュタインである。これは M. ハイマンの予想を確認する。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_n$ の場合、層 $\operatorname{gr} \mathcal{M}$ は $\mathbb{C}^2$ 内の $n$ 個の点のヒルベルトスキーム上に局所自由層を誘導する。
• この局所自由層はプロセッチバンドルと同型であり、$n!$-予想および対称関数の研究において重要な対象である。
• すべての標準的レヴィ部分代数 $\mathfrak{l} \subset \mathfrak{g}$ に対して、$\mathfrak{C}_{\mathfrak{l}}(\mathfrak{g}) \setminus \mathfrak{C}^{rr}$ の特異点集合の余次元は $\mathfrak{C}(\mathfrak{g})$ 内で 2 以上である。これにより、正規化が良好に振る舞うことが保証される。
• $Z = \mathfrak{N}(\mathfrak{l}) + \overset{\circ}{\mathfrak{T}}_{\mathfrak{l}}$ は、$\mathfrak{C}^{rr}$ に含まれる非空なザリスキ開部分集合を含み、したがって $Z \setminus \mathfrak{C}^{rr}$ の余次元は $Z$ 内で $\geq 1$ である。