[論文レビュー] Isospectral deformations of closed Riemannian manifolds with different scalar curvature

Carolyn S. Gordon, Ruth Gornet+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 1997

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$S^n \times T^m$（$n \geq 4$, $m \geq 2$）上で、局所的に等長でなく、非定数のスカラー曲率を示す、最初の連続的な等スペクトルリーマン計量の族を構成する。一部の変形では最大スカラー曲率が変化する。主な貢献は、高次元の閉多様体において、等スペクトル性が局所的等長性や定数スカラー曲率を意味しないことを示したことである。

ABSTRACT

We construct the first examples of continuous families of isospectral Riemannian metrics that are not locally isometric on closed manifolds, more precisely, on $S^n imes T^m$, where $T^m$ is a torus of dimension $m\ge 2$ and $S^n$ is a sphere of dimension $n\ge 4$. These metrics are not locally homogeneous; in particular, the scalar curvature of each metric is nonconstant. For some of the deformations, the maximum scalar curvature changes during the deformation.

研究の動機と目的

• 閉多様体上での局所的に等長でない連続的な等スペクトルリーマン計量族の構成。
• 高次元コンパクトリーマン多様体において、等スペクトル性が定数スカラー曲率を意味しないことの証明。
• 閉多様体上の等スペクトル計量が常に局所的に等長であるか、同一のスカラー曲率を持つべきだとする予想に対する反例の提供。
• 非局所的に等長でない設定における、等スペクトル変形下でのスカラー曲率の挙動の探求。
• 局所的等長性や曲率の定数性を超えたリーマン幾何学におけるスペクトル不変量の理解の拡張。

提案手法

• $n \geq 4$, $m \geq 2$ における $S^n \times T^m$ 上で、ねじれ積とオビフォールド技法を用いて等スペクトル計量を構成する。
• 表現論と群作用を用いて、ラプラス＝ベルトラミ作用素のスペクトルを保つ計量族を生成する。
• スンダの構成およびその一般化を適用し、局所幾何が等長でない等スペクトル多様体を生成する。
• 計量変形パラメータから導かれる明示的公式を用いて、得られた計量のスカラー曲率を分析する。
• 多様体上の点ごとの変動を計算することで、非定数スカラー曲率を検証する。
• リッチ曲率とスカラー曲率が局所的等長性のもとで保存されないことを示すことにより、非局所的等長性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉リーマン多様体上に、局所的に等長でない連続的な等スペクトル計量族が存在するか？
• RQ2 閉多様体上の等スペクトル計量は、必ず定数スカラー曲率を持つのか？
• RQ3 連続的な等スペクトル変形族内において、最大スカラー曲率が変化しうるか？
• RQ4 等スペクトル性が非定数スカラー曲率および非局所的等長性と共存できる条件は何か？
• RQ5 非一様な設定において、ラプラススペクトルのようなスペクトル不変量は、スカラー曲率のような局所的幾何的不変量とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、局所的に等長でない連続的な等スペクトルリーマン計量族を、閉多様体上で初めて構成した。
• 計量は $S^n \times T^m$（$n \geq 4$, $m \geq 2$）上で定義され、非定数のスカラー曲率を示す。
• 特定の変形では最大スカラー曲率が連続的に変化し、スカラー曲率がスペクトルによって決定されないことを示している。
• 等スペクトル族は局所的に等長でないため、等スペクトル性が局所的対称性や曲率の定数性を意味しないことを確認している。
• 本構成は、等スペクトルな閉多様体が常にスカラー曲率のような局所的幾何的不変量を共有するべきだとする考えに対する明示的な反例を提供する。
• 結果として、高次元コンパクトリーマン多様体において、スペクトル不変量だけでは局所的曲率挙動を決定できないことが示された。