[論文レビュー] Isospectral manifolds with different local geometries

Dorothee Schueth|ArXiv.org|Feb 16, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、修正されたトーラスバンドルおよびコンパクトなリー群上の左不変計量を用いて、局所的に等長でないがスペクトルが等しい最初の例を構成する。全空間が一様な多様体の連続的等スペクトル族を確立し、局所幾何が異なるが共形同値な等スペクトル対を提示することで、スペクトル幾何における長年の疑問、すなわちスペクトルが局所構造をどの程度決定できるかという問題を解決する。

ABSTRACT

We construct several new classes of isospectral manifolds with different local geometries. After reviewing a theorem by Carolyn Gordon on isospectral torus bundles and presenting certain useful specialized versions (Chapter 1) we apply these tools to construct the first examples of isospectral four-dimensional manifolds which are not locally isometric (Chapter 2). Moreover, we construct the first examples of isospectral left invariant metrics on compact Lie groups (Chapter 3). Thereby we also obtain the first continuous isospectral families of globally homogeneous manifolds and the first examples of isospectral manifolds which are simply connected and irreducible. Finally, we construct the first pairs of isospectral manifolds which are conformally equivalent and not locally isometric (Chapter 4).

研究の動機と目的

• スペクトルが等しいが局所的に等長でない多様体を構成し、スペクトルが局所幾何を決定するという考えに挑戦する。
• Sunada法を一般化して、異なる局所的曲率特性を持つコンパクトなリー群上の等スペクトル計量を生成する。
• 全空間が一様な多様体の連続的等スペクトル族の存在を示す。
• 共形同値だが局所的に等長でない等スペクトル多様体の最初の例を提供する。
• スペクトル剛性およびラプラシアン固有値スペクトルに符号化された幾何的情報に関する未解決の問題を解消する。

提案手法

• 等スペクトルトーラスバンドルに関するカーライン・ゴードンの定理の特殊版を用いて、新たな等スペクトル多様体を構成する。
• Sunada法を一般化した形で適用し、コンパクトなリー群上の左不変計量の等スペクトル族を生成する。
• リー代数上のトレース関数から導かれるワープ関数を用いて、リー群の直積上の共形計量を構築する。
• 共形因子のラプラシアンとリッチテンソルのノルムを含む曲率公式を用いて、局所幾何を比較する。
• ワープ積のスカラー曲率の公式を用いる：$\text{scal}^{\tilde{\varphi}g} = \frac{\alpha + \beta \tilde{\tau} - (N-1)(N-2)\|d\tilde{\tau}\|^{2}}{\exp(2\tilde{\tau})}$、ここで$\tilde{\tau}$は調和関数である。
• 最大スカラー曲率の位置を分析し、異なる共形因子に対して異なる部分多様体上に位置することを示し、局所幾何の差を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトルが等しいが局所的に等長でない多様体は存在するか、すなわちスペクトルが局所幾何を決定しないか？
• RQ2 全空間が一様な多様体の連続的等スペクトル族は存在するか。また、明示的に構成可能か？
• RQ3 共形同値な多様体が等スペクトルであるが、局所幾何が異なることはあり得るか？
• RQ4 コンパクトなリー群上の左不変計量は、異なる局所的曲率不変量を持つ等スペクトル対を生成可能か？
• RQ5 スペクトルがリッチ曲率ノルムのような局所的幾何不変量をどの程度決定できないか？

主な発見

• 本稿は、局所的に等長でないがスペクトルが等しい4次元多様体の最初の例を構成し、局所幾何がスペクトルによって決定されないことを示した。
• コンパクトなリー群上の等スペクトル左不変計量の最初の例を提供し、全空間が一様な多様体の連続的等スペクトル族を構成した。
• 群$K \times K \times H$上の構築された共形計量は等スペクトルだが局所的に等長ではなく、最大スカラー曲率の位置が異なるリッチ曲率ノルムを示す。
• $K = \mathrm{SO}(m)$ または $\mathrm{SU}(m)$ でそれぞれ$m \geq 5$ または $m \geq 3$ の場合、$\|\mathrm{Ric}^{g_\lambda}\| \neq \|\mathrm{Ric}^{g_{\lambda'}}\|$ を満たす等スペクトル対$\lambda, \lambda'$が存在し、局所的曲率の差を明確にした。
• $\tilde{\varphi}_1 g_{\bar{\lambda}}$ の最大スカラー曲率の逆像は$\{\mathrm{Id}\} \times K \times H$ であるのに対し、$\tilde{\varphi}_2 g_{\bar{\lambda}}$ では$K \times \{\mathrm{Id}\} \times H$ であるため、非等長な局所構造が確認された。
• 証明は、特定の区間におけるスカラー曲率関数の単調性に依拠し、最大値が示された部分多様体上でのみ発生することを保証することで、局所幾何の差を明確にした。