[論文レビュー] Isotopies of high genus Lagrangian surfaces

Richard Hind, Alexander Ivrii|ArXiv.org|Feb 21, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティック4次元多様体内の高 genus のラグランジュ面の十分小さな近傍において、その面とホモロジーラーに同値な任意のラグランジュ部分多様体が滑らかに同相であることを証明する。シンプレクティック形式の変形と余接 bundle 内の有限エネルギーの正則平面を用いて、このようなラグランジュ部分多様体が局所的に非自明な同相類を形成できないことを示し、g > 1 の表面に対するアーノルドの同相問題の局所版を解決する。

ABSTRACT

We show that all Lagrangian submanifolds of the cotangent bundle of a Riemann surface which are homotopic to the zero section must be smoothly isotopic to the zero section.

研究の動機と目的

• V. アーノルドが提起した、シンプレクティック4次元多様体内の高 genus ラグランジュ面に対する同相問題の局所版を扱う。
• genus g > 1 のラグランジュ面の周囲の十分小さな近傍において、その面とホモロジーラーに同値なすべてのラグランジュ部分多様体がゼロセクションに滑らかに同相であることを示す。
• これまでの結果（genus 0 および 1 の場合に知られていたもの）を拡張し、高次の genus において、局所的近傍に非自明なラグランジュのねじれが存在しないことを証明する。
• 一般のシンプレクティック4次元多様体では、同値なラグランジュ部分多様体が非同相である例が存在するが、高 genus ラグランジュ部分多様体の局所的同相類が自明であることを確立する。

提案手法

• 余接 bundle T^*\Sigma 上に、小刻みな \epsilon に対して、元の canonical な \omega_0 と第二の形式 \tau からの変形を経て、一意的パラメータ族のシンプレクティック形式 \omega = \Omega_\epsilon を構成する。
• モーザーの方法を用いて、元のラグランジュ部分多様体 L をチューブ近傍 V 内の \Omega_\epsilon-シンプレクティックな表面へ滑らかに変形する。
• 単位余接 bundle のシンプレクティゼーションにおける有限エネルギー正則平面理論を適用し、交差の正の性質とフレドホルム理論を用いて、複素構造の変形に対しても正則平面の保存が保証されることを示す。
• レベル集合 T^r\Sigma 内の横断的曲線の変形を用いて \omega-シンプレクティックな同相を構成し、ゆっくりとした変化を保つことで、得られる表面のシンプレクティック性を維持する。
• ファイバーが \omega に関して無限大の面積を持つことを利用し、同相がゼロセクションのコンact近傍内に留まるように保証する。
• 最小周期のリーブ軌道に漸近する有限エネルギー平面の一意性を用いて、同相がシンプレクティックな表面 S と横断的交わることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック4次元多様体内に存在する、ゼロセクションとホモロジーラーに同値な genus g > 1 のラグランジュ面について、十分小さな近傍内で常に滑らかに同相であるか？
• RQ2 一般に非同相なホモロジーラーに同値なラグランジュ面が存在するが、高 genus ラグランジュ面の局所的同相類は自明であるか？
• RQ3 正の交差数を持つ有限エネルギー正則平面の存在は、シンプレクティック変形の下で同相不変性を示唆するか？
• RQ4 与えられたシンプレクティックな表面と横断的交わる \omega-シンプレクティック平面を通じて、シンプレクティックな同相を構成できるか？

主な発見

• 任意の genus g > 1 のラグランジュ面 L \subset T^*\Sigma について、ゼロセクション \Sigma とホモロジーラーに同値であるとき、十分小さな近傍内で L から \Sigma への滑らかな同相が存在する。
• 同相は \omega-シンプレクティックな表面を通じて構成され、これにより、標準的シンプレクティック形式の小さな摂動に対してもシンプレクティック構造が保存される。
• 最小周期のリーブ軌道に漸近する有限エネルギー正則平面は、ほぼ複素構造の変形に対しても保存され、ホモトピー類内に一意の正則平面が存在することが保証される。
• 同相化された平面とシンプレクティックな表面 S の間の単一の横断的交点が存在し、コンパクトネスと交差の正の性質を組み合わせることで、同相が完全なシンプレクティック同相に拡張可能であることが示される。
• ファイバーが \omega に関して無限大の面積を持つにもかかわらず、レベル集合内の横断的曲線の変化率を制御することで、同相がゼロセクションのコンact近傍内に留まるように調整可能である。
• 本結果により、高 genus ラグランジュ面の局所的近傍に非自明なラグランジュのねじれが存在しないことが確立され、以前の genus 0 および 1 の結果を一般化する。