[論文レビュー] Isotoping 2-spheres in 4-manifolds

Selman Akbulut|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、単連結な4次元多様体内に、位相同相的には同相だが、滑らかには同相でない2次元球面のペアを構成し、$ S^2 \times S^2 $ との接続和によって滑らかでない同相性が解消されることを示している。主な結果は、元の多様体内では球面が滑らかに同相でないが、$ S^2 \times S^2 $ と接続和をとると滑らかに同相になることである。これは、4次元多様体内の球面に存在する異種的な滑らかな構造が、安定化によって除去されることを示している。

ABSTRACT

Here we discuss an example of topologically isotopic but smoothly non-isotopic pair of 2-spheres in a simply connected 4-manifold, which become smoothly isotopic after stabilizing by connected summing with S^2 x S^2.

研究の動機と目的

• 単連結な4次元多様体内に、位相同相的には同相だが滑らかには同相でない2次元球面のペアを明示的に構成すること。
• このような球面のペアが、周囲の多様体を $ S^2 \times S^2 $ と接続和することで滑らかに同相になることを示すこと。
• マズール・コルトおよびその関連するアンチコルト（自己同型 $ \tau $ を通じて）が、4次元多様体に異種的な滑らかな構造を生じることを示すこと。
• リボン移動、ディスクの補空間、および4次元トポロジーにおける境界を共有する領域に沿った微分同相写像の拡張不能性の関係を明確にすること。

提案手法

• 埋め込まれたディスク $ D \subset W $ の境界上に固定する位相的同相性を保つ自己同型 $ f $ を持つマズール・コルト $ (W, f) $ を用いる。
• 文献[A1]のカービングプロセスを適用し、$ D $ のチューブ型近傍を跨いで自己同型 $ f $ を拡張し、$ Q = W \setminus N(D) $ を得る。この多様体 $ Q $ は $ B^3 \times S^1 $ にホモトピー同値である。
• 境界 $ \partial Q $ 上に自己同型 $ \tau $ を構成し、$ Q $ 上への微分同相写像に拡張できないことを示し、これにより $ Q $ が境界に対して異種的な構造を持つことを示す。
• 4次元球面 $ B^4 $ 内のリボン結び目 $ \gamma = \partial D $ を用い、ゼロ・ドット交換によって関連する2つの異なるリボンディスクを定義し、$ B^4 $ に+1フレーミングの2セルを添付することで得られる4次元多様体 $ M $ 内に、2つの異なる2次元球面 $ S_1 $ と $ S_2 $ を構成する。
• 球面 $ S_1 $ および $ S_2 $ の吹き下ろしの効果を分析し、両方の操作が同じポジトロン・コルト $ \bar{W}_1 $ を得ることを示すが、$ \partial M $ 上の恒等写像がコルト自己同型 $ f $ に写されるため、$ M $ 内で $ S_1 $ と $ S_2 $ は滑らかに同相でないことを示す。
• 多様体 $ M $ を $ S^2 \times S^2 $ と接続和することで、球面 $ S_1 $ と $ S_2 $ が境界に沿って滑らかに同相になることを確立する。これは、キリービ図式においてドットを付けた円を0フレーミングの円に変えることに相当し、同相性が多様体全体に拡張可能になるからである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元多様体内の2つの2次元球面が、位相同相的には同相だが滑らかには同相でないことはあり得るか？
• RQ2 $ S^2 \times S^2 $ との安定化が、4次元多様体内の球面の滑らかでない同相性をどのように解消するか？
• RQ3 同じリボン結び目 $ \gamma $ が2つの異なるリボンディスクを境界とするとき、それらが同じ4次元多様体にどのように異なる滑らかな構造を生じさせるか？
• RQ4 リボン補空間 $ Q $ の境界上に定義された自己同型 $ \tau $ が $ Q $ 上の微分同相写像に拡張できないのはなぜか？そしてこれは滑らかな構造にどのような意味を持つのか？
• RQ5 $ S_1 $ および $ S_2 $ の吹き下ろし操作が、ポジトロン構成におけるコルトねじれ操作とどのように関係しているか？

主な発見

• 自明な基本群を持つ4次元多様体 $ M $ が存在し、その中に自己交差数+1の2次元球面 $ S_1 $ と $ S_2 $ が存在するが、これらは位相同相的には同相だが滑らかには同相でない。
• $ S_1 $ と $ S_2 $ は、リボン結び目 $ \gamma $ に沿って+1フレーミングの2セルを $ B^4 $ に添付することで得られ、それぞれが $ \gamma $ に境界を持つ2つの異なるリボンディスクに対応する。
• $ S_1 $ や $ S_2 $ を吹き下ろすと、両方ともポジトロン・コルト $ \bar{W}_1 $ が得られ、吹き下ろし写像はコルト自己同型 $ f $ を実現する。このため、$ M $ 内で $ S_1 $ と $ S_2 $ は滑らかに同相でない。
• 多様体 $ M $ は $ \bar{W}_1 \# \mathbb{C}P^2 $ に微分同相である。これは、$ \mathbb{C}P^2 $ の吹き上げ操作が $ \bar{W}_1 $ 内のコルトねじれ効果を元に戻すことを示している。
• $ M $ を $ S^2 \times S^2 $ と接続和することで、球面 $ S_1 $ と $ S_2 $ は境界に沿って滑らかに同相になる。安定化により、同相性が多様体全体に拡張可能になるからである。
• この例は、$ \tau $ の拡張不能性に起因する $ Q $ の異種的な構造が、球面の滑らかでない同相性の原因であり、安定化がこの障害を除去することを示している。