[論文レビュー] Isotopy invariants for closed braids and almost closed braids via loops in stratified spaces

Thomas Fiedler|ArXiv.org|Jun 19, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、バーガス空間のループを用いて、立体トーラス内の閉およびほぼ閉ブレードの新しい同相型不変量を導入する。特徴的なループを構成し、その交点をcodimension-oneの層（三重点および接点）と分析することで、有限型の1-コサイクル不変量（有限型）と、非有限型だが多項式時間で計算可能な特性不変量（非有限型）を定義する。これらは、量子不変量が検出できない2成分リンクの非可逆性を検出可能である。

ABSTRACT

Let $ϕ: S^1 imes D^2 o S^1$ be the natural projection. An oriented knot $K\hookrightarrow V = S^1 imes D^2$ is called an almost closed braid if the restriction of $ϕ$ to K has exactly two (non-degenerate) critical points (and K is a closed braid if the restriction of $ϕ$ has no critical points at all). We introduce new isotopy invariants for closed braids and almost closed braids in the solid torus V. These invariants refine finite type invariants. They are still calculable with polynomial complexity with respect to the number of crossings of K. Let the solid torus V be standardly embedded in the 3-sphere and let A be the axis of the complementary solid torus $S^3\setminus V$. We give examples which show that our invariants can detect non-invertibility of 2-component links $K\cup A\hookrightarrow S^3$. Notice that all quantum link invariants fail to do so and that it is not known wether there are finite type invariants which can detect non-invertibility of 2-component links.

研究の動機と目的

• 閉およびほぼ閉ブレードの同相型不変量を、多項式時間複雑性で計算可能なものとして開発すること。
• ブレードの共役問題の指数的複雑性を克服するため、有限型不変量を精緻化する不変量を導入すること。
• 量子不変量が検出できない2成分リンク $K \bigcup A$ の非可逆性を検出可能な不変量を構成すること。
• ホモトピー的およびホモロジー的道具を用いて、有限型不変量の理論を非有限型不変量へと拡張すること。
• トレースグラフと特異集合との重み付き交差数を用いた不変量の計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• 閉ブレード $\hat{\beta}$ と同相なブレードの空間 $M(\hat{\beta})$ を定義し、三重点および自己接点というcodimension-one特異点による自然な分層構造を備える。
• 射影 $pr: V \to S^1 \times I$ を通じて、$M(\hat{\beta})$ 内に標準的ループ $rot(\hat{\beta})$ を構成し、これにより厚みのあるトーラス内のトレースグラフ $TL(\hat{\beta})$ が誘導される。
• ガウス図と相対的交差位置を用いて符号と重みを割り当て、三重点の層 $\Sigma^{(1)}(tri)$ との重み付き交差数を関連付ける。
• これらの重み付き交差から得られる有限型の1-コサイクル不変量を定義し、マーク付き4T関係を自動的に満たす。
• 特定の3成分の組み合わせに制限した三重点に対して、非有限型だが多項式時間で計算可能な特性不変量を導入する。
• ホモトピー的およびホモロジー的推定（例：定理10）を用いて、特性不変量の絶対値により、ホモトピー類の $*$-長さの上限を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉ブレードの同相型不変量を、有限型不変量を精緻化する多項式時間複雑性で構成可能か？
• RQ2 このような不変量は、量子不変量が検出できない2成分リンク $K \cup A$ の非可逆性を検出可能か？
• RQ3 非有限型だが計算可能である特性不変量は、次数1の不変量よりもリンクを区別する能力が優れているか？
• RQ4 1パラメータ族の閉ブレードにおけるブレード関係の数は、トレースグラフの位相とどのように関係するか？
• RQ5 理論を、$\phi|_K$ がちょうど2つの臨界点を持つ「ほぼ閉ブレード」に拡張可能か？

主な発見

• 次数 $d$ の1-コサイクル不変量は、語長 $c$ の閉 $n$-ブレードに対して $d \geq c + n^2 - n - 1$ のとき消える。これは、有限型不変量内での自然なフィルトレーションを示している。
• 次数1の特性不変量は、閉およびほぼ閉ブレードの両方の同相型不変量であり、量子不変量が失敗する非可逆性を検出可能である。
• $S = l \cdot \text{rot}(\hat{\sigma_2} \hat{\sigma_1}^{-1})$ に対して、$*$-長さは $b([S]_{t-t}) = 4|l|$ を満たし、大きさ $\pm 1$ の非自明な次数1の特性が8つ存在する。
• 正および負の特性不変量は、次数1の不変量だけよりもより多くの情報を含んでおり、例として $C^{\pm}_{(1,1)^-}(x_1,x_1,x_2) = 1$ および $C^{\pm}_{(2,2)^+}(x_2,x_2,x_1) = 1$ が示される。
• 標準的ループ $rot(\hat{\beta})$ は、$\Sigma^{(1)}(tan)$ に対して常に非接点的であり、これにより修正されたトレースグラフの連結成分が同相型不変量であることが保証される。
• 次数の高い特性不変量は、次数の高い1-コサイクルと同様に、ホモトピー類の $*$-長さの推定に用いることができ、定理10の上限を拡張する。