[論文レビュー] Isotrivial elliptic K3 surfaces and Lagrangian fibrations

Justin Sawon|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Weierstrassモデルと複素トーラス上の群作用を用いて、等標数の楕円的K3表面を分類し、アーベル多様体上の群作用を用いて、次元6以上で等標数のラグランジュ被覆を持つ新しい複素シンプレクティック軌道体の例を構成する。主な貢献は、次元6以上で等標数のラグランジュ被覆を持つが、シンプレクティックな特異点解消を許さないような軌道体の構成であり、非自明な特異点を持つ原始的シンプレクティックV多様体の新しい例を提供する。

ABSTRACT

A fibration is said to be isotrivial if all of its smooth fibres are isomorphic to a single fixed variety. We classify the elliptic K3 surfaces that are isotrivial, and use them to construct Lagrangian fibrations that are isotrivial. We then modify the construction to produce new examples of holomorphic symplectic orbifolds, that also admit isotrivial Lagrangian fibrations.

研究の動機と目的

• Weierstrassモデルと複素トーラス上の群作用を用いて、等標数の楕円的K3表面を分類すること。
• 次元6以上で等標数のラグランジュ被覆を持つ新しい複素シンプレクティック軌道体の例を構成すること。
• 次元6以上で構成されたこのような軌道体がシンプレクティックな特異点解消を許さないことを示すこと。
• 群作用を部分群に制限することで松下の構成を拡張し、底面が自明な正則リーマン・カルタン・クラスを持つ新しい特異シンプレクティック多様体を生成すること。

提案手法

• j不変量の分析と、モノドロミーの考察を用いて、有限モノドロミーを持つ特異ファイバーを記述するWeierstrassモデルを用いて、等標数の楕円的K3表面を分類する。
• 有限部分群 $\Gamma$ が楕円曲線の積に作用する $\mathrm{Sp}(n,\mathbb{C})$ に属する $\Gamma$ を用いて、複素シンプレクティック軌道体を $E^{2n}/\Gamma$ の商として構成する。
• 等標数のK3表面におけるヒルベルトスキームの構成を用いて、次元が高次元の複素シンプレクティック軌道体を、等標数のラグランジュ被覆を持つように生成する。
• 群作用を部分群 $\Gamma' < \Gamma$ に制限する。たとえば $\Gamma' = \langle (a_1,\dots,a_n) \in G^n, \tau \in \mathfrak{A}_n \mid a_1\cdots a_n = 1 \rangle$ のようにして、新しい例を生成する。
• 局所的特異点が $\mathbb{C}^4/\pm 1$ に同型であることを分析することで、得られた軌道体がシンプレクティックな特異点解消を許さないことを証明する。
• 偶数次元因子上で $\Gamma'$-不変な正則 $n$-形式の存在を確認することで、ファイバーの底面がCalabi-Yau $n$-foldであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの楕円的K3表面が等標数であり、Weierstrassモデルとモノドロミーの考察を用いてどのように分類できるか？
• RQ2 次元6以上で、複素シンプレクティック軌道体に等標数のラグランジュ被覆を構成することは可能か？
• RQ3 構成された複素シンプレクティック軌道体はシンプレクティックな特異点解消を許すか。もし許さないのなら、その理由は何か？
• RQ4 群作用を部分群 $\Gamma'$ に制限することで、商軌道体のシンプレクティック構造およびファイバー構造にどのような影響を与えるか？

主な発見

• すべての等標数の楕円的K3表面は、Weierstrassモデルを用いて分類され、特異ファイバーは有限モノドロミーを持つKodaira型に対応し、たとえば $I_0^*$, $II^*$, $III^*$, $IV^*$ などが含まれる。
• 複素シンプレクティック軌道体 $E^{2n}/\Gamma$ の構成により、$n \geq 3$ に対して $\mathbb{P}^n$ 上に等標数のラグランジュ被覆が得られ、$\Gamma$ は巡回群と対称群の半直積として作用する。
• 群作用を部分群 $\Gamma'$ に制限して得られる軌道体 $E^{2n}/\Gamma'$ は、$n \geq 3$ に対して $h^{2,0}(Z) = 1$ かつ $h^{1,0}(Z) = 0$ を満たす原始的シンプレクティックV多様体であり、その底面はCalabi-Yau $n$-foldである。
• $E^{2n}/\Gamma$ は、シンプレクティックな特異点解消を許さない。なぜなら、局所的に $\mathbb{C}^4/\pm 1$ に同型な特異点を含み、これはシンプレクティックなカテゴリーにおいて解消不能であることが知られているからである。
• $E^{2n}/\Gamma'$ も同様にシンプレクティックな特異点解消を許さない。Fuの補題3.5によると、$G$ を $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ の有限部分群とするとき、$\mathbb{C}^4/G$ のような局所的特異点を持つためである。
• $n \geq 3$ に対して、$E^{2n}/\Gamma'$ の特異点は局所的に $({{\mathbb{C}}}^{4}/G)\times{{\mathbb{C}}}^{2n-4}$ の形をとり、$\mathbb{C}^4/G$ がシンプレクティックな特異点解消を許さないため、全体の軌道体に対しても同様に許されない。