[論文レビュー] Isotropy of some quadratic forms and its applications on levels and sublevels of algebras

Cristina Flaut|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2012

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特徴が 2 でない体上でのカーレイ・ディクソン過程を用いて構成された代数のレベルおよび部分レベルに及ぼす二次形式の等方性の影響を調査する。本稿では、このような代数のレベルが 2 のべきで有界であることを確立し、レベルが特定の 2 のべきに等しくなるための条件を提示する。特に、ピフェル形式の等方性とこれらの代数の構造との関連を示している。

ABSTRACT

In this paper, we give some properties of the levels and sublevels of algebras obtained by the Cayley-Dickson process. We will emphasize how isotropy of some quadratic forms can influence the levels and sublevels of algebras obtained by the Cayley-Dickson process.

研究の動機と目的

• カーレイ・ディクソン過程によって生成される代数のレベルおよび部分レベルに及ぼす二次形式の等方性の影響を分析すること。
• カーレイ・ディクソン代数のレベルが 2 のべきに等しくなるための必要十分条件を同定すること。
• カーレイ・ディクソン構成によって得られる単純代数のレベルおよび部分レベルを特徴づけること。
• 既知のピフェル形式および等方性に関する結果を非可換代数へと拡張すること。
• 純粋部分形式の等方性と代数のレベルとの関係を明確にすること。

提案手法

• ベースとなる代数にスカラー的対合を備えたものから出発し、パラメータ $ \gamma \in K^* $ を用いて $ A \oplus A $ 上に乗法を定義することで代数を構成するカーレイ・ディクソン過程を用いる。
• 特に $ n $ 重のピフェル形式 $ \ll a_1, \dots, a_n \gg $ を用いて等方性および双曲性を分析する。
• 二次形式 $ \varphi $ に対して、$ \varphi $ が等方的になる関数体 $ K(\varphi) $ の概念を用いる。
• 代数的構造および代数上の二次形式を定義するために、トレースおよびノルム写像 $ t(a) = a + \overline{a} $、$ n(a) = a\overline{a} $ を用いる。
• ウィット理論の結果、特にウィット指数および部分形式の関係を用いて、$ 2^k \times T_P $ や $ (2^k + 1) \times \langle 1 \rangle \perp (2^k - 1) \times T_P $ などの形式の等方性を決定する。
• 関数体上での等方性と $ F $-場の存在を結びつけるために [8] および [22] の定理に依拠し、レベルの上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カーレイ・ディクソン代数のレベルが $ 2^k $ に等しくなるのはどのような条件下か？
• RQ2 ピフェル形式の純粋部分形式の等方性は、得られる代数のレベルにどのように影響するか？
• RQ3 $ 2^k \times T_P $ と $ (2^k + 1) \times \langle 1 \rangle \perp (2^k - 1) \times T_P $ の等方性の関係は何か？
• RQ4 カーレイ・ディクソン代数のレベルが $ 2^k $ を超えることは可能か？ もしそうなら、どのような等方性条件下で可能か？
• RQ5 これらの代数の部分レベルは、関連する二次形式の等方性とどのように関係するか？

主な発見

• カーレイ・ディクソン代数 $ A $ のレベル $ s(A) $ は、$ (2^k + 1) \times \langle 1 \rangle \perp (2^k - 1) \times T_P $ が等方的であることにちょうど同値に $ s(A) \leq 2^k $ を満たす。
• $ k \geq 2 $ のとき、$ s(A) \leq 2^k - 1 $ であることは、$ \langle 1 \rangle \perp (2^k - 1) \times T_P $ が等方的であることと同値である。
• もし $ s(A) = 2^k $ ならば、$ s(A) = 2^k $ である。もし $ s(A) = 2^k + 1 $ ならば、$ s(A) = 2^k $ または $ s(A) = 2^k + 1 $ であり、等方性条件に依存する。
• もし $ s(A) = 1 $ ならば、$ s(A) \leq 2 $ であり、$ s(A) = 1 $ であることは、$ T_C $ が等方的であるか、または $ 2 \times T_P $ が等方的であることに同値である。
• $ k \geq t $ のとき、$ \langle 1 \rangle \perp 2^k \times T_P $ が等方的ならば、$ (2^k + 1) \times \langle 1 \rangle \perp (2^k - 1) \times T_P $ が等方的である。
• レベル $ s(A) $ は常に 2 のべきであり、任意の 2 のべきは適切な体上でのカーレイ・ディクソン代数のレベルとして実現可能である。