[論文レビュー] Itô's formula for flows of measures on semimartingales

Xin Guo, Huyên Pham+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2020

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最初に円柱関数に対して導出し、近似および局所化を用いて拡張することで、一般のセミマルティングール（ジャンプ付き拡散を含む）に沿った確率測度の流れに対する一般化された伊藤の公式を確立する。主な貢献は、ジャンプを伴う McKean–Vlasov コントロール問題および混合正規・特異コントロールに対して、動的計画法の原理と検証定理を可能にすることであり、測度微分を介して最大原理と動的計画法の原理の一般化された関係を示している。

ABSTRACT

We establish Itô's formula along flows of probability measures associated with general semimartingales; this generalizes existing results for flows of measures on Itô processes. Our approach is to first establish Itô's formula for cylindrical functions and then extend it to the general case via function approximation and localization techniques. This general form of Itô's formula enables the derivation of dynamic programming equations and verification theorems for McKean--Vlasov controls with jump diffusions and for McKean--Vlasov mixed regular-singular control problems. It also allows for generalizing the classical relationship between the maximum principle and the dynamic programming principle to the McKean--Vlasov singular control setting, where the adjoint process is expressed in terms of the derivative of the value function with respect to the probability measures.

研究の動機と目的

• ジャンプを含む一般のセミマルティングールに沿った確率測度の流れに対する一般化された伊藤の公式を、連続的な伊藤過程の枠組みを超えて開発すること。
• 不連続なセミマルティングールによって駆動される測度値過程に対する一般化された伊藤の公式の欠如が、McKean–Vlasov コントロールにおける動的計画法的手法を阻害していた問題を克服すること。
• ジャンプ拡散および混合正規・特異コントロールを含む McKean–Vlasov コントロール問題に対して、動的計画方程式および検証定理を導出可能にするための手段を提供すること。
• 古典的な最適性原理と動的計画法原理の関係を、アドジョイント過程が測度に関する価値関数の微分で表現される McKean–Vlasov 特異コントロール設定へ一般化すること。

提案手法

• 線形微分を確率測度空間上で用いる性質を用いて、可積分な形をとる滑らかな平均場関数である円柱関数に対して、まず伊藤の公式を導出する。
• 関連 Wasserstein 空間とユークリッド空間の直積におけるコンパクト集合上で一般化された Stone–Weierstrass 定理を用い、円柱関数が C¹,¹ 位相における2回連続微分可能関数の空間で稠密であることを示す。
• 局所化技術を適用して、円柱関数から一般関数への伊藤の公式の拡張を行い、適切な可積分性および正則性条件のもとで公式が成立することを保証する。
• 測度の流れにおけるジャンプおよび基礎となるセミマルティングール過程のジャンプの無限小的挙動を捉えるために、確率測度空間上での線形微分を用いる。
• ジャンプ拡散および特異コントロールを伴う McKean–Vlasov SDE の構造を活用し、関連するアドジョイント方程式を導出し、導出された動的計画法原理を用いて最適性を検証する。
• 最大原理から得られる FBSDE システムと、特異コントロールを伴う補助的平均場ゲームのものとを形式的に同一視することで、MFG と McKean–Vlasov コントロール枠組みとの間の接続を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のセミマルティングール（ジャンプを含む）に沿った測度の流れに対して、古典的な伊藤過程の枠組みを超えて、伊藤の公式を一般化することは可能か？
• RQ2 ジャンプ拡散および混合正規・特異コントロールを含む McKean–Vlasov コントロール問題に対して、どのようにして動的計画方程式および検証定理を導出できるか？
• RQ3 McKean–Vlasov 特異コントロール問題の文脈において、最適性原理と動的計画法原理の正確な関係は何か？
• RQ4 最大原理におけるアドジョイント過程は、最適経路に沿った測度に関する価値関数の微分としてどのように表現できるか？

主な発見

• 最初に円柱関数に対して証明し、近似および局所化を用いて拡張することで、一般のセミマルティングール（ジャンプ拡散を含む）に沿った測度の流れに対する一般化された伊藤の公式を確立した。
• 導出された伊藤の公式により、ジャンプ拡散および混合正規・特異コントロールを含む McKean–Vlasov コントロール問題に対する動的計画方程式および検証定理の導出が可能になった。
• 古典的な最適性原理と動的計画法原理の関係が、アドジョイント過程が最適経路に沿った測度に関する価値関数の微分として表現される McKean–Vlasov 特異コントロール設定へ一般化された。
• 1次元の平均・分散特異コントロール例において、最適コントロールが状態とその期待値を含むフィードバック形式で明示的に導出され、閾値条件に基づいて活性領域と非活性領域を行き来する。
• 制御された過程は、境界で反射する特異コントロールを伴う Skorokhod 型 SDE に従い、1次元の Skorokhod 問題を解くことで、特異コントロールの存在および一意性が保証される。
• 価値関数が V(t, μ) = A(t)Var(μ) + B(t)μ̄² + C(t)μ̄ + D(t) の形をとり、時間に依存する係数が解析的に解ける常微分方程式系を満たすことが示された。