[論文レビュー] Itô's formula for jump processes in $L_p$-spaces

István Gyöngy, Sizhou Wu|Edinburgh Research Explorer|Apr 29, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、跳躍付きの確率過程の $L_p$-ノルムに対する伊藤の公式を確立し、$p \geq 2$ の $L_p$-空間へのクリロフの $L_2$-理論の拡張を実現する。これは、ウィener過程とポアソン確率測度によって駆動される $|u_t|_{L_p}^p$ の確率微分を提供し、$L_p$-ソボレフ空間におけるレヴィノイズを伴うSPDEの解の存在および一意性の証明を可能にする。

ABSTRACT

We present an Itô formula for the $L_p$-norm of jump processes having stochastic differentials in $L_p$-spaces. The main results extend well-known theorems of Krylov to the case of processes with jumps, and which can be used to prove existence and uniqueness theorems in $L_p$-spaces for SPDEs driven by Lévy processes.

研究の動機と目的

• クリロフの $L_2$-空間における伊藤の公式を、$p \geq 2$ の $L_p$-空間へ、ジャンプ過程を含めて拡張すること。
• ウィナーパrocessとポアソンマルティンゲール測度によって駆動される $L_p$-値半マルティンゲールのための確率積分の枠組みを構築すること。
• $L_p$-ソボレフ空間におけるレヴィノイズを伴うSPDEの解の存在および一意性を証明するための道具を提供すること。
• クリロフ（2010）の補題5.1および定理2.1をジャンプ付き過程へ一般化すること。
• 新しい伊藤の公式を用いて、確率積分微分方程式の $L_p$-ノルムにおける事前推定を確立すること。

提案手法

• $\mathbb{R}^M$-値半マルティンゲールに対する伊藤の公式と確率的フビニーの定理を用いて、$|u_t|_{L_p}^p$ の確率微分を導出する。
• 滑らかでない過程を取り扱うために、畳み込みによる正則化手続きを適用し、事前推定を導出する。
• ホルダーおよびヤングの不等式を用いて、$L_p$-ノルムにおけるマルティンゲール項およびジャンプ項を制御する。
• ドリフト、拡散、ジャンプ成分を別々に評価することで、解の $L_p$-ノルムの境界を確立する。
• 時間、空間、およびポアソン確率測度に関する積分の順序交換に確率的フビニーの定理を適用する。
• 正則化パrameter $\varepsilon \to 0$ における極限的議論を用いて、正則化方程式における極限に移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続半マルティンゲールから $L_p$-値過程への伊藤の公式をどのように拡張できるか？
• RQ2 過程がポアソン確率測度によって駆動されるジャンプを含む場合、$|u_t|_{L_p}^p$ の正しい伊藤微分はどのような形か？
• RQ3 得られた公式を用いて、レヴィノイズを伴うSPDEの $L_p$-ノルムにおける事前推定を導出可能か？
• RQ4 ドリフト、拡散、ジャンプ係数の可積分性は、$L_p$-ノルム推定にどのように依存するか？
• RQ5 $L_p$-ソボレフ空間におけるジャンプノイズを伴うSPDEの解の存在および一意性を保証する条件は何か？

主な発見

• 本稿は、ジャンプを伴う $L_p$-値半マルティンゲールの $|u_t|_{L_p}^p$ に対する新しい伊藤の公式を確立し、クリロフの $L_2$-結果を一般化する。
• $|u_t|_{L_p}^p$ の確率微分には、ドリフト、拡散、ジャンプ項が含まれ、係数の $L_p$-ノルムを含む明示的な表現を持つ。
• 事前推定式 (2.6) が導出される：$\mathbb{E} \sup_{t \leq T} |u_t|_{L_p}^p \leq C \left( \mathbb{E} |\psi|_{L_p}^p + \mathbb{E} \int_0^T |h_t|_{L_p(\mathcal{L}_p)}^p dt + \cdots \right)$ であり、定数 $N = N(p,d)$ に依存する。
• 推定は、ドリフト、拡散、ジャンプ係数の $L_p$-ノルムに依存し、時間に依存する係数 $T^{(p-2)/2}$ および $T^{p-1}$ を含む。
• $\varepsilon \to 0$ における極限的議論により、正則化方程式において、右連続左極限をもつ $L_p$-値解が存在し、$L_p$-意味でSPDEを満たすことが確認される。
• 本手法により、$L_p$-ソボレフ空間におけるレヴィ過程によって駆動されるSPDEの解の存在および一意性の結果が得られ、[8] で応用されている。