[論文レビュー] It's Not Easy Being Three: The Approximability of Three-Dimensional Stable Matching Problems

Rafail Ostrovsky, Will Rosenbaum|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Game Theory and Voting Systems参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、3次元安定マッチング問題の近似可能性を調査し、特に3-GSM（3性別安定結婚）および3-PSA（3人安定割り当て）について、最大安定結婚（MSM）および最大安定部分結婚（MSS）の両変種が、定数因子内で近似可能でないことが示されている。両問題に対して、4/9-近似を達成する多項式時間アルゴリズムを提示し、APX完全性を確立している。

ABSTRACT

In 1976, Knuth asked if the stable marriage problem (SMP) can be generalized to marriages consisting of 3 genders. In 1988, Alkan showed that the natural generalization of SMP to 3 genders ($3$GSM) need not admit a stable marriage. Three years later, Ng and Hirschberg proved that it is NP-complete to determine if given preferences admit a stable marriage. They further prove an analogous result for the $3$ person stable assignment ($3$PSA) problem. In light of Ng and Hirschberg's NP-hardness result for $3$GSM and $3$PSA, we initiate the study of approximate versions of these problems. In particular, we describe two optimization variants of $3$GSM and $3$PSA: maximally stable marriage/matching (MSM) and maximum stable submarriage/submatching (MSS). We show that both variants are NP-hard to approximate within some fixed constant factor. Conversely, we describe a simple polynomial time algorithm which computes constant factor approximations for the maximally stable marriage and matching problems. Thus both variants of MSM are APX-complete.

研究の動機と目的

• 3次元安定マッチング問題の計算的非効率性に対処する。これは、NgとHirschbergが示したように、正確に解くにはNP完全である。
• 3性別安定結婚（3-GSM）および3人安定割り当て（3-PSA）の最適化変種を形式化し、特に最大安定結婚（MSM）および最大安定部分結婚（MSS）を研究する。
• これらの問題の近似可能性の限界を特定する。特に、定数因子近似が可能かどうかを検討する。
• 3次元安定マッチングにおけるNP困難性と近似アルゴリズムのギャップを埋める。不完全な好みや同順位を含む既存の研究を拡張する。

提案手法

• 3次元マッチング（3DM）問題からの還元を用いて、3-GMSMおよび3-GMSSの定数因子内での近似がNP困難であることを証明する。
• 不安定な三重項の寄与数を最小化するように三重項を選択する、貪欲な近似アルゴリズム（AMSM）の設計。
• 鳩の巣原理に基づくマーキング論法を用い、各三重項集合において少なくとも1つの三重項が安定性条件を満たすことを示し、安定三重項の下界を導出する。
• 一貫性のない順序付けを含む好み構造の構築により、制限された好みタイプ下でも近似の困難さを示す。
• 減少する2次多項式の和を用いて、貪欲解における不安定三重項総数をバウンドすることで、4/9-近似要因の証明を行う。
• 類似の還元およびアルゴリズム設計を通じて、3-PSA問題への近似および困難性結果の拡張。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3性別安定結婚における最大安定部分結婚（MSS）問題に対して、定数因子近似を効率的に計算することは可能か？
• RQ2 最大安定結婚の4/9-近似要因は改善可能か、あるいはこれがタイトな上限か？
• RQ3 3-GSMおよび3-PSAの近似困難性結果は、好みにおける一貫性制約下でも頑健か？
• RQ4 すべての好みプロファイルにおいて、最大安定部分結婚の最小サイズは何か？
• RQ5 4/9-近似アルゴリズムは最適か？ より良い近似比は達成可能か？

主な発見

• 3性別最大安定結婚（3-G-MSM）問題は、1未満の任意の定数因子内での近似がNP困難であることが示され、強い近似不可能性の境界が確立された。
• 多項式時間の貪欲アルゴリズム（AMSM）が3-G-MSMに対して4/9-近似を達成し、問題がAPXに属することを証明した。
• 3-G-MSM問題はAPX完全である。これは、定数因子近似が可能な問題の中で最も困難な問題に属することを意味する。
• 同様の4/9-近似結果は、3人安定割り当て（3-PSA）問題にも拡張され、対応するアルゴリズムASAが存在する。
• 最大安定部分結婚（3-G-MSS）問題についても、定数因子内での近似がNP困難であるが、そのような近似アルゴリズムは構築されていない。
• 困難性結果は、Max-3DMからの還元に依存しており、これはMax-SNP完全であることが知られているため、標準の複雑性仮定下では定数因子近似不可能性が本質的である。