[論文レビュー] Iterated and Mixed Weak Norms with Applications to Geometric Inequalities

Ting Chen, Wenchang Sun|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2017

Advanced Harmonic Analysis Research被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、混合ノルムを伴うLebesgue空間における反復的・混合的弱ノルムを導入し、それらの非同値性および異なる収束性を確立し、Hölderの不等式が特定のインデックス条件のもとでのみ成立することを証明する。これらの道具を用いて、分数階積分作用素を介してHardy-Littlewood-Sobolevの不等式を混合弱空間へ一般化し、標準的および逆形式を導出する。

ABSTRACT

In this paper, we consider a new weak norm, iterated weak norm in Lebesgue spaces with mixed norms. We study properties of the mixed weak norm and the iterated weak norm and present the relationship between the two weak norms. Even for the ordinary Lebesgue spaces, the two weak norms are not equivalent and any one of them can not control the other one. We give some convergence and completeness results for both weak norms. We study the convergence in truncated norm, which is a substitution of the convergence in measure for mixed Lebesgue spaces. And we give a characterization of the convergence in truncated norm. We show that Hölder's inequality is not always true on mixed weak spaces and we give a complete characterization of indices which admit Hölder's inequality. As applications, we establish some geometric inequalities related to fractional integration in mixed weak spaces and in iterated weak spaces which essentially generalize the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality.

研究の動機と目的

• 混合ノルムを伴うLebesgue空間における反復的および混合的弱ノルムの定義と性質の研究。
• 反復的弱ノルムと混合的弱ノルムの非同値性を示し、標準的Lebesgue空間でさえも同値でないことを確立する。
• 混合Lebesgue空間における測度収束の代わりに、切断ノルムにおける収束の特徴づけ。
• 混合弱空間におけるHölderの不等式が成立する正確なインデックスの特定。
• 分数階積分作用素を用いて、Hardy-Littlewood-Sobolev不等式を混合弱空間および反復的弱空間へ一般化すること。

提案手法

• 混合的弱ノルム $\|f\|_{L^{\vec{p},\infty}} := \sup_{\lambda>0} \lambda \| \chi_{\{|f|>\lambda\}} \|_{L^{\vec{p}}} $ および反復的弱ノルム $\|f\|_{L^{p_2}(L^{p_1,\infty})} := \| \|f\|_{L_x^{p_1,\infty}} \|_{L_y^{p_2}} $ の導入。
• レベル集合の切断を用いて定義される切断ノルムにおける収束を分析し、この収束タイプの完全な特徴づけを提供。
• 混合弱空間上では一般にHölderの不等式が成立しないことを証明し、$\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ のインデックスの完全な特徴づけを示す。
• 分数階積分作用素 $L_\gamma f(x,y) = f(x,y)/|x-y|^\gamma$ および $T_\gamma f(x,y) = f(x,y)/(|x+y|+|x-y|)^\gamma$ を用い、混合弱空間への有界性を示す。
• 実補間および対称減少再配分不等式を用いて、$0 < p_1, p_2 < 1$ の場合の逆Hardy-Littlewood-Sobolev不等式を導出する。
• 双対性および補間技法を用いて、$L^{p_{1},\infty}(L^{p_{2},\infty})$ ノルムを主定理に含める形で、鋭い定数およびインデックス条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復的弱ノルムと混合的弱ノルムは、混合Lebesgue空間で同値か？
• RQ2 混合弱Lebesgue空間においてHölderの不等式が成立する条件は何か？
• RQ3 分数階積分作用素を用いて、Hardy-Littlewood-Sobolev不等式を混合弱空間へ拡張できるか？
• RQ4 混合Lebesgue空間における切断ノルムにおける収束の正確な特徴づけは何か？
• RQ5 $0 < p_1, p_2 < 1$ の場合に、逆Hardy-Littlewood-Sobolev不等式が混合弱ノルムで成立するか？

主な発見

• 反復的弱ノルムと混合的弱ノルムは同値ではなく、一般にどちらのノルムも他方を支配しない。標準的Lebesgue空間においても同様である。
• Hölderの不等式が混合弱空間で成立するのは、インデックスが $1/p_1 + 1/p_2 = 1/q_1 + 1/q_2 + \gamma/n$ を満たし、$\gamma = n(2 - 1/p_1 - 1/p_2)$ のときであり、そうでなければ不等式は成立しない。
• 分数階積分作用素 $T_\gamma f(x,y) = f(x,y)/(|x+y|+|x-y|)^\gamma$ に対して、$\|T_\gamma f\|_{L^{\vec{q},\infty}} \lesssim \|f\|_{L^{\vec{p},\infty}}$ が成り立つのは $1/p_1 + 1/p_2 = 1/q_1 + 1/q_2 + \gamma/n$ のときであり、この条件は鋭い。
• 古典的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式は、定理3.4の主結果の特別な場合として回復され、$0 < p_1, p_2 < 1$ の場合の逆不等式は補間および再配分技法によって確立される。
• 切断ノルムにおける収束は、混合Lebesgue空間において測度収束と同値であり、反復的および混合的弱ノルムの両方について完備性の結果が得られる。
• 逆Hardy-Littlewood-Sobolev不等式は $0 < p_1, p_2 < 1$ に対して $\|T^{-1}_\gamma(f \otimes g)\|_{L^1(L^1)} \gtrsim \|f\|_{L^{p_1}}\|g\|_{L^{p_2}}$ を満たし、補間および対称減少再配分を用いて示される。