[論文レビュー] Iterated endomorphisms of Abelian algebraic groups

Rafe Jones, Jeremy Rouse|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ℓ進およびクンマー型のガロアデータを統合して、体 F 上のアーベル代数群 A における点 α の ℓ による反復乗算の下での逆像を研究するための '樹形' ガロア表現 ω を導入する。ω が全射である条件を同定し、α mod p の位数が ℓ と素であるような素数 p の密度を計算する。例えば、F が数体であり、A が全射な 2-進表現をもつ楕円曲線であり、α ∉ 2A(F(A[4])) であるとき、奇数位数の還元をもつ素数の密度は 11/21 である。

ABSTRACT

Abstract. Given an abelian algebraic group A over a global field F, α ∈ A(F), and a prime ℓ, the set of all preimages of α under some iterate of [ℓ] has a natural tree structure. Using this data, we construct an “arboreal ” Galois representation ω whose image combines that of the usual ℓ-adic representation and the Galois group of a certain Kummer-type extension. For several classes of A, we give a simple characterization of when ω is surjective. The image of ω also encodes information about the density of primes p in K such that the order of the reduction mod p of α is prime to ℓ. We compute this density in the general case for several A of interest. For example, if F is a number field, A/F is an elliptic curve with surjective 2-adic representation and α ∈ A(F), with α ̸ ∈ 2A(F(A[4])), then the density of primes p with α mod p having odd order is 11/21. 1.

研究の動機と目的

• ℓ による反復乗算の下での点の逆像に作用する新しいガロア表現 ω を構成し、ℓ 進およびクンマー型のガロア作用を統合すること。
• さまざまなクラスのアーベル代数群 A に対して、この樹形表現 ω が全射である条件を同定すること。
• α mod p の位数が ℓ と素であるような素数 p の自然密度を計算すること、特に楕円曲線のような数論的関心の高い状況を含む。
• 楕円曲線に全射な 2-進表現をもつような特定のクラスのアーベル多様体に対して、明示的な密度結果を提供すること。

提案手法

• 代数閉包 F̄ 上の A における ℓ による反復乗算の下での α のすべての逆像の集合に木構造を定義する。
• ℓ 進およびクンマー理論的データを統合したガロア作用として、この逆像木に作用する樹形ガロア表現 ω を構成する。
• ω の像を用いて、α mod p の位数が ℓ と素であるような素数 p の密度に関する情報を符号化する。
• クラス体論およびガロア理論的技法を用いて、ω の像を解析し、全射性の条件を導出する。
• 既知の ℓ 進表現およびクンマー拡張の結果を活用して、特定の状況での密度を計算する。
• 全射な 2-進表現をもつ楕円曲線および α に関する条件に注目し、11/21 の密度結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体 F 上のグローバル体および与えられた素数 ℓ に対して、アーベル代数群 A における樹形ガロア表現 ω が全射である条件は何か？
• RQ2 ω の像は、α mod p の位数が ℓ と素であるような素数 p の密度に関する情報をどのように符号化するか？
• RQ3 α を素数で還元したときの位数が ℓ と素であるような素数 p の正確な自然密度は何か、特に全射な 2-進表現をもつ楕円曲線の場合に注目する。
• RQ4 条件 α ∉ 2A(F(A[4])) は、奇数位数還元をもつ素数の密度にどのように影響するか？
• RQ5 樹形表現 ω は、楕円曲線を越えて他のクラスのアーベル多様体に対しても明示的な密度を計算するために用いることができるか？

主な発見

• 樹形ガロア表現 ω は、ℓ による反復乗算の下での点の逆像木に作用するガロア作用として構成され、ℓ 進およびクンマー理論的データを統合する。
• 数体 F 上の楕円曲線 A で、全射な 2-進表現をもち、α ∉ 2A(F(A[4])) であるとき、α mod p の位数が奇数であるような素数 p の密度は正確に 11/21 である。
• ω の像は、α mod p の位数が ℓ と素であるような素数 p の密度に関する情報を符号化しており、複数の状況で明示的な計算が可能である。
• 本稿では、適切な ℓ 進およびクンマー理論的性質をもつアーベル多様体の状況において、この密度を計算する一般的手法を提供する。
• ℓ-PRIMARY トーションの構造および ℓ 乗根を生成するクンマー拡張に依存する、いくつかのクラスのアーベル代数群に対して、ω の全射性が同定されている。
• この構成は、ℓ 進ガロア表現と、点の素数を法とした還元に関する算術的性質を結びつける統一的な枠組みをもたらす。