[論文レビュー] Iterated function systems with the average shadowing property

Mehdi Fatehi Nia|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は反復関数系（IFS）における平均シャドーイング性について検討し、一様に収縮するIFSおよびその共役や積について、この性質を示している。主な貢献は、コンパクトな距離空間上の連続かつ全射なIFSが平均シャドーイング性を有するならば、すべての点がチェーン再帰的であることを示したことである。ただし、逆は成り立たないことが、S¹上でのIFSの例によって示された。その例では、すべての点がチェーン再帰的であるが、平均シャドーイング性を満たさない。

ABSTRACT

The average shadowing property is considered for set-valued dynamical systems, generated by parameterized IFS, which are uniformly contracting, or conjugacy, or products of such ones. We also prove that if a continuous surjective IFS F on a compact metric space X has the aver- age shadowing property, then every point x is chain recurrent. Moreover, we introduce some examples and investigate the relationship between the original shadowing property and shadowing property for IFS. For example, this is proved that the Sierpinski IFS has the average shadowing property. Then we shows that there is an IFS F on S1 such that F does not sat- isfy the average shadowing property but every point x in S1 is a chain recurrent.

研究の動機と目的

• 単一写像における平均シャドーイング性の概念をパラメータ化された反復関数系（IFS）へと拡張すること。
• 特に一様に収縮する、共役、または積系であるIFSが平均シャドーイング性を示す条件を確立すること。
• 平均シャドーイング性とチェーン再帰性の関係を明確にすること、特に後者が前者を意味するかどうかを検討すること。

提案手法

• 軌道上の距離のチェザロ型平均を用いて、IFSにおける平均擬軌道および平均シャドーイング性を定義する。
• 各写像が距離を一様に収縮する「一様に収縮するIFS」の概念を用い、平均シャドーイング性を証明する。
• 記号的力学および位相的力学の結果を応用し、シフト空間や軌道構造の利用を含む。
• R、R²、Σ₂、S¹上でのIFSの明示的例を構成し、理論的結果を図示する。
• 共役および積構成を用いて、基本的なIFSからより複雑な系へと平均シャドーイング性を拡張する。
• チェーン再帰的集合の定義を用いて、小さな摂動のもとで自身に戻ることができる点を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ化されたIFSがいつ平均シャドーイング性を有するのか。
• RQ2 IFSの共役または積構成によって平均シャドーイング性は保存されるか。
• RQ3 平均シャドーイング性が、空間のすべての点がチェーン再帰的であることを意味するか。
• RQ4 すべての点がチェーン再帰的であっても、平均シャドーイング性を満たさないIFSは存在するか。
• RQ5 すべての点がチェーン再帰的であるが、平均シャドーイング性を満たさないIFSの明示的例は何か。

主な発見

• コンパクトな距離空間上の一様に収縮するIFSは、すべて平均シャドーイング性を有する。
• シエルピンスキーIFSは、一様に収縮するIFSの特別な場合であり、平均シャドーイング性を満たす。
• コンパクトな距離空間上の連続かつ全射なIFSが平均シャドーイング性を有するならば、空間のすべての点がチェーン再帰的である。
• S¹上に、平均シャドーイング性を満たさないが、S¹のすべての点がチェーン再帰的であるようなIFSが存在する。
• 動的挙動が最小的かつチェーン再帰的であるが、非一様な収縮性と軌道挙動のため、平均シャドーイング性に失敗するS¹上での明示的IFSが構成された。
• シフトに類似した写像f₀とf₁によって生成されるカントール空間Σ₂上のIFSは一様に収縮するため、平均シャドーイング性を有し、k > 1についてのその反復Fᵏに対しても同様である。