[論文レビュー] Iterated homotopy fixed points for the Lubin-Tate spectrum

Daniel G. Davis|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、G が拡張モラバ安定化子群 Gn であり、X が自明な Gn作用を持つとき、Lubin-Tate スペクトルに対する反復ホモトピー固定点スペクトルの存在を確立する。主な結果は、反復ホモトピー固定点スペクトル (ZhH)hK/H が EhK に同値であることを示しており、クロミチックホモトピー理論における構成問題を解決する。

ABSTRACT

When G is a profinite group and H and K are closed subgroups, with H normal in K, it is not always possible to form the iterated homotopy fixed point spectrum (ZhH) hK/H, where Z is a continuous G-spectrum. However, we show that, if G = Gn, the extended Morava stabilizer group, and Z = ̂ L(En ∧ X), where ̂ L is Bousfield localization with respect to Morava K-theory, En is the Lubin-Tate spectrum, and X is any spectrum with trivial Gn-action, then the iterated homotopy fixed point spectrum can always be constructed. Also, we show that (EhH n of Devinatz and Hopkins.) hK/H is just E hK

研究の動機と目的

• G がプロファイニット群であり、H ⊲ K が閉部分群であるとき、連続 G-スペクトル Z に対して反復ホモトピー固定点スペクトル (ZhH)hK/H を構成する問題を解決すること。
• 連続 G-スペクトル Z に対して、一般にこのようなスペクトルを形成する際の障害を扱うこと。
• 反復構成が可能となる条件を確立すること、特にLubin-Tateスペクトルに対して。
• これらの条件下で、(ZhH)hK/H ≃ EhK が成り立つことを示すことにより、反復固定点の構造を単純化すること。

提案手法

• 作用するプロファイニット群 G として拡張モラバ安定化子群 Gn を用いる。
• Z を ̂L(En ∧ X) として構成し、̂L はモラバ K-理論におけるBousfield局在化であり、X は自明な Gn作用を持つ。
• プロファイニット群の連続作用とホモトピー固定点理論を適用する。
• En のホモトピー固定点に関する既知の結果を活用し、反復固定点の構造を導出する。
• E hK がよく理解されていることを利用して、反復構成との同値性を示す。
• 与えられた条件下で、反復構成が適切に定義されており、標準的ホモトピー固定点スペクトルと同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G がプロファイニット群であり、H ⊲ K が閉部分群であるとき、連続 G-スペクトル Z に対して反復ホモトピー固定点スペクトル (ZhH)hK/H を構成できる条件は何か？
• RQ2 拡張モラバ安定化子群 Gn の作用のもとで、Lubin-Tateスペクトル En に対して反復ホモトピー固定点スペクトルを構成できるか？
• RQ3 この設定において、反復ホモトピー固定点スペクトル (ZhH)hK/H は標準的ホモトピー固定点スペクトル EhK と同値か？
• RQ4 Bousfield局在化 ̂L は、自明な Gn作用を持つ En ∧ X に対して反復固定点を構成するために果たす役割は何か？
• RQ5 Z = ̂L(En ∧ X) かつ X が自明な Gn作用を持つとき、同値性 (ZhH)hK/H ≃ EhK は成り立つか？

主な発見

• G = Gn、Z = ̂L(En ∧ X)、X が自明な Gn作用を持つとき、反復ホモトピー固定点スペクトル (ZhH)hK/H は存在し、適切に定義される。
• 構成は、拡張モラバ安定化子群の特定の構造とBousfield局在化の性質に起因する。
• 反復ホモトピー固定点スペクトル (ZhH)hK/H は、標準的ホモトピー固定点スペクトル EhK に同値である。
• このような反復構成は一般に任意の連続 G-スペクトルに対しては可能でないにもかかわらず、この同値性は成り立つ。
• この結果により、Lubin-Tate設定における反復固定点の標準的構成が得られ、長年の技術的障害が解消される。
• 同値性 (ZhH)hK/H ≃ EhK は、クロミチックホモトピー理論における高次の固定点の研究を単純化する。