[論文レビュー] Iterated homotopy fixed points for the Lubin-Tate spectrum, with an Appendix: An example of a discrete G-spectrum that is not hyperfibrant

Daniel G. Davis, Ben Wieland|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、拡張されたモラバ安定化子群 $G_n$ の閉正規部分群 $H \trianglelefteq K \leq G_n$ に対するリュビン＝タートスペクトル $E_n$ の反復ホモトピー固定点スペクトルの構成を確立する。Bousfield局在化と連続 $G$-スペクトル理論を用いて、$(E_n^{hH})^{hK/H} \simeq E_n^{hK}$ を示し、$K/H$ が非有限の場合にもデイビンツとホプキンズの結果を拡張する。

ABSTRACT

When G is a profinite group and H and K are closed subgroups, with H normal in K, it is not known, in general, how to form the iterated homotopy fixed point spectrum (Z^{hH})^{hK/H}, where Z is a continuous G-spectrum and all group actions are to be continuous. However, we show that, if G=G_n, the extended Morava stabilizer group, and Z=L_{K(n)}(E_n \wedge X), where L_{K(n)} is Bousfield localization with respect to Morava K-theory, E_n is the Lubin-Tate spectrum, and X is any spectrum with trivial G_n-action, then the iterated homotopy fixed point spectrum can always be constructed. Also, we show that (E_n^{hH})^{hK/H} is just E_n^{hK}, extending a result of Devinatz and Hopkins.

研究の動機と目的

• 連続 $G$-スペクトル $Z$ に対して $H$ が $K$ で開でない場合の反復ホモトピー固定点スペクトル $(Z^{hH})^{hK/H}$ の構成問題を解決すること。
• $(E_n^{hH})^{hK/H} \simeq E_n^{hK}$ の同型が、$K/H$ が有限でない場合にも成り立つように拡張すること。
• $K(n)$-局在化を用いた、チロニカルホモトピー理論における反復ホモトピー固定点の一般枠組みを提供すること。
• $\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X)$ が連続 $K/H$-スペクトルであることを示し、反復ホモトピー固定点の構成を可能にすること。
• ハイパーフィブランティの条件の限界を示すために、ハイパーフィブランティでない離散 $G$-スペクトルの具体的な構成を提示すること。

提案手法

• Bousfield局在化 $\widehat{L} = L_{K(n)}$ を用いて、$\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X)$ を対角的 $K/H$-作用をもつ連続 $K/H$-スペクトルとして構成する。
• 文献[2]の連続 $G$-スペクトル理論を適用し、ホモトピー固定点を全右導来函手として定義する。
• 文献[4]で確立された、すべての閉部分群 $K \leq G_n$ に対して $E_n^{hK} \simeq E_n^{dhK}$ であるという事実を活用し、構成された反復固定点を既知の $K$-固定点と関連付ける。
• $\mathbb{Z}_q$--equivariant 同型 $\pi_0(X^{h\mathbb{Z}/p}) \cong \prod_{n \geq 0} \mathbb{Z}/p[\mathbb{Z}/q^n]$ を構成し、モジュール構造を分析する。
• $\mathbb{Z}_q$ から $\prod_{n \geq 0} \mathbb{Z}/p[\mathbb{Z}/q^n]$ への $G$--equivariant 擬似 $i: \mathbb{Z}_q \to \prod_{n \geq 0} \mathbb{Z}/p[\mathbb{Z}/q^n]$ を用いて、この積が離散 $\mathbb{Z}_q$-加群でないことを示し、非ハイパーフィブランティを証明する。
• 作用の連続性による背理法を適用する：もし積が離散 $\mathbb{Z}_q$-加群であれば、$\mathbb{Z}_q$ は離散 $\mathbb{Z}_q$-集合であるはずだが、実際はそうではない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続 $G$-スペクトル $Z$ に対して、$H$ が $K$ で開でない場合に反復ホモトピー固定点スペクトル $(Z^{hH})^{hK/H}$ を構成できるか？
• RQ2 $K/H$ が有限でない（プロファイニットである）場合に、同型 $(E_n^{hH})^{hK/H} \simeq E_n^{hK}$ は成り立つか？
• RQ3 ハイパーフィブランティでない離散 $G$-スペクトルが存在するか？もし存在するなら、それを明示的に構成できるか？
• RQ4 $E_n^{dhH}$ 上の $K/H$-作用を、$\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X)$ 上の連続 $K/H$-スペクトル構造に引き上げられるか？
• RQ5 積 $\prod_{n \geq 0} \mathbb{Z}/p[\mathbb{Z}/q^n]$ は離散 $\mathbb{Z}_q$-加群か？この事実はハイパーフィブランティ条件にどのような含意を持つのか？

主な発見

• $\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X)$ は対角的 $K/H$-作用をもつ連続 $K/H$-スペクトルであり、反復ホモトピー固定点の構成を可能にする。
• 反復ホモトピー固定点スペクトル $(E_n^{hH})^{hK/H}$ は、$K/H$ がプロファイニットであっても $E_n^{hK}$ と同型である。
• $\pi_0(X^{h\mathbb{Z}/p}) \cong \prod_{n \geq 0} \mathbb{Z}/p[\mathbb{Z}/q^n]$ 上の $\mathbb{Z}_q$-作用は離散ではないため、スペクトル $X$ はハイパーフィブランティでない。
• $\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X)$ を連続 $K/H$-スペクトルとして構成することで、文献[2]の理論を適用し、$(\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X))^{hK/H}$ を定義できる。
• 作用の連続性による背理法により、積 $\prod_{n \geq 0} \mathbb{Z}/p[\mathbb{Z}/q^n]$ は離散 $\mathbb{Z}_q$-加群でないことが示された。
• ハイパーフィブランティでない離散 $G$-スペクトルの具体的な例が構成され、等化的安定ホモトピー論における疑問が解決された。