[論文レビュー] Iterated LD-Problem in non-associative key establishment

Arkadius Kalka, Mina Teicher|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2013

Cryptography and Data Security参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、左自己分配的（LD）、多重量LD、相互LDシステムに基づく非結合的鍵確立プロトコルの反復版を導入し、セキュリティに寄与する反復LD問題の変種を活用する。プロトコルはバーゲン群、対称群、行列群において一般化されたシフト付き共軛とf-対称共軛を用いて実装されており、暗号的効率性および既知の攻撃に対する耐性を考慮したパラメータの提案がなされている。

ABSTRACT

We construct new non-associative key establishment protocols for all left self-distributive (LD), multi-LD-, and mutual LD-systems. The hardness of these protocols relies on variations of the (simultaneous) iterated LD-problem and its generalizations. We discuss instantiations of these protocols using generalized shifted conjugacy in braid groups and their quotients, LD-conjugacy and $f$-symmetric conjugacy in groups. We suggest parameter choices for instantiations in braid groups, symmetric groups and several matrix groups.

研究の動機と目的

• 非結合的代数的構造、特にLDシステムおよびその一般化に対する、改善された鍵確立プロトコル（KEP）の開発。
• 反復LD問題およびその変種（同時および部分群共軛コセット問題を含む）の計算困難性に基づくセキュリティ強化。
• バーゲン群、対称群、有限体および有理関数体上の行列群における、これらのプロトコルの具体的かつ効率的な実装。
• 実用的導入を念頭に、生成子差の中心化群が大きく、代数的攻撃に耐性を持つパラメータ選定の提案。
• 非結合的構造への拡張として、部分的および相互LDシステムにおけるプロトコルの形式化。

提案手法

• LDシステムにおける[KT13]のKEPの反復版を提案。プランルート付き二分木を用いて、反復的左自己分配的作用により共有鍵成分を生成する。
• バーゲン群における一般化されたシフト付き共軛作用を、LDシステムを構築するためのプラットフォームとして採用。セキュリティと計算効率を最大化するパラメータを選定。
• 行列群におけるf-対称共軛を、LDシステムのための新たな作用として導入。F_q[X]/(X^N - 1)のような環上の評価自己準同型fを用いる。
• 木構造による群元（a0, b1, ..., bk）の生成を用い、LD作用の反復的適用により共有鍵を計算。参加者間での鍵合意を保証する。
• 共軛コセット問題を基本の困難問題として採用。特にバーゲン群において、その解法が計算的に困難であると示唆。
• MAGMAを用いてすべてのプロトコルを実装。コードおよび実装例は[KT13a]に詳細記載され、無限および有限の行列群をサポート。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復LD問題に基づく非結合的鍵交換プロトコルは、従来のAAG類の方式よりもより安全に構築可能か？
• RQ2 非結合的系における反復LD問題およびその一般化の背後にある計算困難性仮定は何か？
• RQ3 バーゲン群および行列群における、これらのプロトコルの効率的かつ安全な実装はどのように達成できるか？
• RQ4 生成子差の中心化群が大きく、代数的攻撃に耐性を持つパラメータ選定はどのようなものか？
• RQ5 行列群におけるf-対称共軛は、実用的効率性を備えた非結合的KEPの実現に有効なプラットフォームとなり得るか？

主な発見

• 反復LD問題およびその変種（同時および共軛コセット問題を含む）は、非結合的系における暗号的用途に適した計算困難問題であることが示された。
• バーゲン群（例：d=4, m=n=6, kA=kB=5, l=5）および行列群（例：d=4, p=17, m=n=8, kA=kB=10）に対して、セキュリティと効率性を確保するための具体的なパラメータセットを提案。
• F_q[X]/(X^N - 1)上の行列群における評価自己準同型fの使用により、f-対称共軛問題の計算が効率的に行える一方で、問題の困難性を維持できる。
• 生成子差（例：f(si sj^{-1}))の中心化群が大きく、セキュリティに不可欠である。これは、ガスナー表現におけるケーブル化または可約なバーゲン構造により達成可能である。
• バーゲン群における共軛コセット問題は、新たなかつ関連性の高い困難問題と特定され、標準的な共軛問題よりも耐性が高い可能性がある。
• MAGMAにおける実装により実現可能性が確認され、[KT13a]に完全なコードおよび実装例が記載されており、無限および有限の両方のプラットフォームをサポート。