[論文レビュー] Iterated line graphs with only negative eigenvalues $-2$, their complements and energy

Harishchandra S. Ramane, B. Parvathalu+2 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2022

Graph theory and applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、k ≥ 1 に対してすべての負の固有値が −2 に等しい反復線グラフ 𝒮ℒᵏ(G) を特徴づけ、そのエネルギーと補グラフの固有値スペクトルを導出し、これらの補グラフが正確に2つの正の固有値を持つことを確立する。さらに、正則グラフに限らないエネルギー対称性の結果を拡張し、等エネルギー的グラフの広いクラスを構成する。そのために、等分割に基づく商行列を用いて固有値スペクトルを効率的に計算する手法を導入する。

ABSTRACT

The graphs with all equal negative or positive eigenvalues are special kind in the spectral graph theory. In this article, several iterated line graphs $\mathcal{L}^k(G)$ with all equal negative eigenvalues $-2$ are characterized for $k\ge 1$ and their energy consequences are presented. Also, the spectra and the energy of complement of these graphs are obtained, interestingly they have exactly two positive eigenvalues with different multiplicities. Moreover, we characterize a large class of equienergetic graphs which generalize some of the existing results. There are two different quotient matrices defined for an equitable partition of $H$-join (generalized composition) of regular graphs to find the spectrum (partial) of adjacency matrix, Laplacian matrix and signless Laplacian matrix, it has been proved that these two quotient matrices give the same respective spectrum of graphs.

研究の動機と目的

• k ≥ 1 に対してすべての負の固有値が −2 に等しい反復線グラフ 𝒮ℒᵏ(G) を特徴づけること。
• このようなグラフの補グラフのエネルギーとスペクトルを計算し、正確に2つの正の固有値を持つことを明らかにすること。
• 正則グラフに限らない非正則グラフに対しても、等エネルギー的グラフに関する既存の結果を一般化し、非正則な等エネルギー的グラフの広いクラスを構成すること。
• 正則グラフに限らない反復線グラフに対し、エネルギー対称性の性質 𝒪(Ḡ) = 𝒪(G) を、すべての固有値が −2 である性質を持つグラフへ拡張すること。
• 独立数の上限を確立し、線グラフ 𝒮ℒ(G) がすべての負の固有値が −2 に等しい性質を満たし、かつその補グラフが連結であるような連結グラフの最小の位数を特定すること。

提案手法

• 正則グラフの H-結合（一般化された合成）の等分割を用いて、隣接行列、ラプラシアン行列、符号なしラプラシアン行列の2つの商行列を定義する。
• 両方の商行列が3つの行列タイプに対して同一の部分スペクトルをもたらすことを証明し、効率的なスペクトル計算を可能にする。
• 隣接行列と符号なしラプラシアン行列の間のスペクトル関係を用いて、−2 固有値条件を [2, ∞) ∪ {0} 内の Q-固有値の条件に再定式化する。
• エネルギーの公式 𝒪(G) = Σ|λᵢ| を用いて、反復線グラフとその補グラフのエネルギーを計算し、既知の固有値の重複度を活用する。
• SageMath を用いて、特定のグラフ族におけるスペクトルおよびエネルギーの結果の検証を行う。
• 不等式 n⁻(G) ≤ n₀ − α(G) を適用し、𝒮ℒᵏ(G) および Ḡ(𝒮ℒᵏ(G)) の独立数の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k ≥ 1 に対して、すべての負の固有値が −2 に等しい反復線グラフ 𝒮ℒᵏ(G) はどのようなものか？
• RQ2 このような反復線グラフの補グラフのスペクトルとエネルギーは何か？
• RQ3 拡張グラフ Ebd(𝒮ℒᵏ(G)) と Ebd(Ḡ(𝒮ℒᵏ(G))) が等エネルギー的であるのはどのような条件下か？
• RQ4 すべての固有値が −2 である非正則反復線グラフに対しても、エネルギー対称性 𝒪(Ḡ) = 𝒪(G) を拡張できるか？
• RQ5 線グラフ 𝒮ℒ(G) がすべての負の固有値が −2 に等しい性質を満たし、かつ補グラフ Ḡ(G) が連結であるような連結グラフ G の最小の位数は何か？

主な発見

• k ≥ 1 に対してすべての負の固有値が −2 に等しい反復線グラフ 𝒮ℒᵏ(G) が特徴づけられ、−2 の重複度は mₖ₋₁ − nₖ₋₁ に等しい。
• このようなグラフの補グラフは正確に2つの正の固有値を持ち、重複度が異なる。そのスペクトルは明示的に計算されている。
• 𝒮ℒᵏ(G) のエネルギーは 2(3mₖ₋₁ − 2nₖ₋₁) に等しく、その補グラフのエネルギーは 2(2(λ̄ₖ(₁) + 1) + 3mₖ₋₁ − 4nₖ₋₁) に等しい。ここで λ̄ₖ(₁) は補グラフの最大固有値である。
• グラフ Ebd(𝒮ℒᵏ(G)) と Ebd(Ḡ(𝒮ℒᵏ(G))) が等エネルギー的であるための必要十分条件は λ̄ₖ(₁) = nₖ₋₁ − 1 であり、これは n⁻(Ḡ(𝒮ℒᵏ(G))) = nₖ₋₁ − 1 と同値である。
• 𝒮ℒᵏ(G) の独立数は nₖ₋₁ 以下に上界が与えられ、Ḡ(𝒮ℒᵏ(G)) の独立数は n⁻(𝒮ℒᵏ(G)) + 1 以下に上界が与えられる。
• 線グラフ 𝒮ℒ(G) がすべての負の固有値が −2 に等しい性質を満たし、かつ補グラフ Ḡ(G) が連結であるような連結グラフ G の最小の位数は 7 であり、6 次までを全検索で確認した結果である。