[論文レビュー] Iterated logarithm law for sizes of clusters in Arratia flow

A. A. Dorogovtsev, Alexander Gnedin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、共alesceするブラウン運動の系であるアラティア流れにおける、原点に位置する粒子の属するクラスタのサイズに対して反復対数法則を確立する。確率的解析およびガウス過程の不等式を用いて、時間 t が 0 に近づくとき、クラスタサイズ ν(t) が limsup_{t→0+} ν(t)/(2√(t ln ln t⁻¹)) = 1 almost surely を満たすことを証明する。これは、ギルサノフ型の議論により、リプシッツ連続なドリフトを有する任意のアラティア流れへと拡張可能である。

ABSTRACT

The asymptotics of sizes of clusters for the Arratia flow is considered, the Arratia flow being a system of coalescing Wiener processes starting from the real axis and independent before they meet. A cluster at time t is defined as a set of particles that have glued together not later than at t. The results obtained are remarked to hold for any Arratia flow with a Lipschitz drift.

研究の動機と目的

• 共alesceする粒子の系であるアラティア流れにおけるクラスタサイズの小時間スケールでの漸近的挙動を特定すること。
• 既知の大きな時間スケールでのクラスタ挙動を、特に t=0 の近傍における小時間スケールにまで拡張すること。
• t→0+ のとき、クラスタサイズ ν(t) のほぼ確実な limsup スケーリング法則を明確にすること。
• 標準的なアラティア流れに限らず、任意のリプシッツドリフトを有するバージョンに対しても、この結果が成り立つことを証明すること。
• ガウス過程理論および濃縮不等式の高度な道具を用いて、スケーリング極限を導出すること。

提案手法

• クラスタ ν(t) を、時刻 t までに原点に位置する粒子と合体した粒子のLebesgue測度として定義する。
• 恒等式 P(ν(t) ≥ r) = P(τ[y(0), y(r)] ≤ t) = P(θ(r/√2) ≤ t) を用い、問題をウィーナー過程の到達時間へと還元する。
• dyadic列 t_n = α^n を用いて、尾確率のsummabilityを解析することで、limsup の上界をBorel-Cantelli補題を用いて評価する。
• スダコフの下界不等式およびガウス過程の濃縮を用いて、離散時間グリッド上での正規化ガウス過程の期待最大値の下界を確立する。
• ギルサノフの定理を用いて、ゼロドリフトのアラティア流れから、リプシッツドリフトを有する流れへの結果の拡張を実行する。
• メトリックエントロピー推定と尾確率の境界を組み合わせ、クラスタサイズが閾値以下にとどまる確率が 0 に収束することを示し、limsup の等式を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アラティア流れにおけるクラスタサイズ ν(t) が t→0+ のとき、正確にどの漸近的スケーリングをとるか？
• RQ2 反復対数法則 ν(t)/(2√(t ln ln t⁻¹)) → 1 が、アラティア流れにおけるクラスタサイズに対して almost surely 成り立つか？
• RQ3 このスケーリング法則は、非ゼロのリプシッツドリフトを有するアラティア流れへと拡張可能か？
• RQ4 ブラウン運動の到達時間の性質は、流れの共alesce構造とどのように関係するか？
• RQ5 ガウス過程の不等式および測度濃縮の役割は、limsup 結果を導出する上で果たすか？

主な発見

• t→0+ のとき、ν(t)/(2√(t ln ln t⁻¹)) の limsup は、almost surely に 1 に等しい。これは、正確な almost sure スケーリング法則を確立する。
• 上界は、任意の ε>0 に対して、Σ P(ν(t_n)/(2√(t_n ln ln t_n⁻¹)) > 1+ε) が収束することを示すことにより、Borel-Cantelli補題を用いて導出される。
• 下界は、離散時間グリッド上にインデックスされた正規化ガウス過程にスダコフの下界不等式を適用することに依存する。
• このグリッド上での過程の期待最大値は、N が増加するにつれて √(ln N) のように増加し、濃縮不等式によりこれが閾値を上回ることを保証する。
• 結果は、ギルサノフの定理により、ゼロドリフトバージョンと絶対連続な任意のリプシッツドリフト付きアラティア流れへと拡張可能である。
• 証明の構造は、t=0 の近傍におけるクラスタサイズの成長が、ブラウン運動の標準的反復対数法則と同一の対数スケーリングに従うことを確認する。