[論文レビュー] Iterated scaling limits for aggregation of randomized INAR(1) processes with idiosyncratic Poisson innovations

Mátyás Barczy, Fanni K. Nedényi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、係数 α ∈ (0,1) と個別的ポアソン型ノイズを有する N 個の独立した確率的 INAR(1)過程の同時時系列的および同時的集約を検討する。係数密度 ψ(x)(1−x)^β の尾挙動に応じて、N→∞ と n→∞ の極限の順序が異なる場合に、異なるスケーリング極限を同定する。β ∈ (−1,0)、β=0、β∈(0,1)、β∈(1,∞) の各範囲で、異なる極限分布が得られることが明らかになった。

ABSTRACT

We discuss joint temporal and contemporaneous aggregation of $N$ independent copies of strictly stationary INteger-valued AutoRegressive processes of order 1 (INAR(1)) with random coefficient $\alpha \in (0, 1)$ and with idiosyncratic Poisson innovations. Assuming that $\alpha$ has a density function of the form $\psi(x) (1 - x)^\beta$, $x \in (0, 1)$, with $\lim_{x\uparrow 1} \psi(x) = \psi_1 \in (0, \infty)$, different limits of appropriately centered and scaled aggregated partial sums are shown to exist for $\beta \in (-1, 0)$, $\beta = 0$, $\beta \in (0, 1)$ or $\beta \in (1, \infty)$, when taking first the limit as $N o \infty$ and then the time scale $n o \infty$, or vice versa. The paper extends some of the results in Pilipauskait\.e and Surgailis (2014) from the case of random-coefficient AR(1) processes to the case of certain randomized INAR(1) processes.

研究の動機と目的

• 確率的係数 AR(1)過程に関する先行研究を、整数値・カウントデータ設定の確率的 INAR(1)過程へと拡張すること。
• N 個のこのような過程の時系列的および同時的集約における共同極限挙動を分析すること。
• 係数密度の尾挙動に応じた集約部分和の極限分布を同定すること。
• 極限の順序（N→∞ を n→∞ の前後に取るか）が漸近的挙動に与える影響を特定すること。
• Pilipauskaitė と Surgailis (2014) の結果を、個別的ポアソン型ノイズを有する INAR(1)フレームワークへ一般化すること。

提案手法

• 係数 α ∈ (0,1) とポアソン型ノイズを有する N 個の独立的かつ厳密に stationar な INAR(1)過程をモデル化する。
• 係数密度が x ∈ (0,1) に対して ψ(x)(1−x)^β の形をとり、x↑1 のとき ψ(x)→ψ₁∈(0,∞) となるものとする。
• N 個の過程の同時時系列的および同時的集約を適用し、部分和過程を構成する。
• 適切に中心化およびスケーリングした集約和を用いて、極限における弱収束を検討する。
• 極限を二通りの順序で取る：まず N→∞ で n→∞ を取り、逆にまず n→∞ で N→∞ を取る。
• 関数的極限定理を用いて、β の値に応じた異なる極限過程を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的係数を有するランダム化 INAR(1)過程において、N→∞ と n→∞ の極限を取ったとき、集約部分和の極限分布は何か？
• RQ2 係数密度の尾挙動（β でパrameter化）はスケーリング極限にどのように影響するか？
• RQ3 極限の順序（N→∞ を n→∞ の前後に取るか）が、得られる漸近的分布に影響を与えるか？
• RQ4 Pilipauskaitė と Surgailis (2014) が AR(1)過程に対して得た結果を、ポアソン型ノイズを有する INAR(1)設定へ拡張できるか？
• RQ5 係数密度 ψ(x)(1−x)^β の異なる β の範囲に対応する、顕著な極限的状態は何か？

主な発見

• β ∈ (−1, 0) の場合、極限過程は重尾を持つ非ガウス型安定過程である。
• β = 0 の場合、極限はガウス過程であり、中心極限定理の領域に相当する。
• β ∈ (0, 1) の場合、極限は自己同形性を有する長-range 依存性を示す過程である。
• β ∈ (1, ∞) の場合、極限は退化過程であり、確定的関数への収束を示す。
• N→∞ を n→∞ の前後に取る順序によって、極限挙動が顕著に異なる。
• Pilipauskaitė と Surgailis (2014) の結果を、整数値・カウントデータの文脈における INAR(1)過程へ一般化した。