[論文レビュー] Iteration and the Minimal Resultant

Kenneth Jacobs, Phillip Williams|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非アーケメデス的体上の有理写像について、反復写像の最小結果行列が次数と反復回数の単純なべき乗則の式で表されるための条件を同定する。幾何的不変量理論とバーコフスキーサブスぺースの力学を用いて、これは写像がすべての反復について半安定還元をもち、特異性領域 $I(d)$ の外側に還元を持つときにかつそのときに限り成り立つことを示し、アラケロフ＝グリーン関数やラッティーズ写像への応用を含む。

ABSTRACT

Let $K$ be an algebraically closed field that is complete with respect to a non-Archimedean absolute value, and let $φ\in K(z)$ have degree $d\geq 2$. We characterize maps for which the minimal resultant of an iterate $φ^n$ is given by a simple formula in terms of $d$, $n$, and the minimal resultant of $φ$. We show that such maps are precisely those with reduction outside of an indeterminacy locus $I(d)$ and which also have semi-stable reduction for every iterate $φ^n$. We give two equivalent ways of describing such maps, one measure theoretic and the other in terms of the moduli space $\mathcal{M}_d$ of degree $d$ rational maps. As an application, we are able to give an explicit formula for the minimal value of the diagonal Arakelov-Green's function of a map satisfying the conditions of the main theorem. We illustrate our results with some explicit calculations in the case of the Lattès maps.

研究の動機と目的

• 反復写像 $\varphi^n$ の最小結果行列が $d$, $n$, および $R_{[\varphi]}$ の関数として単純な公式を満たす条件を同定すること。
• 最小結果行列が反復において予測可能に振る舞うための動的および幾何的条件を特定すること。
• 最小結果行列の位置とバーコフスキーモジュラー直線上の均衡測度および重心の関係を結ぶこと。
• 得られた結果を用いて、このような写像について対角アラケロフ＝グリーン関数の最小値を計算すること。
• 最小結果行列公式が成り立つ場合と成り立たない場合を示す明示的例（ラッティーズ写像を含む）を提示すること。

提案手法

• 有理写像の正規化された上への持ち上げを用い、結果行列の値 $R_\varphi$ を同型不変量として定義する。
• 幾何的不変量理論を適用し、結果行列の最小性が半安定還元および特異性領域 $I(d)$ と関係することを示す。
• バーコフスキースペースの技法を用いて均衡測度 $\mu_\varphi$ 及びその重心を分析する。
• デマルコらが導入した二つの「残差」測度を用い、反復における還元の挙動を研究する。
• 最小結果行列の公式と二つの幾何的条件（最小結果行列の位置の安定性、$I(d)$ に重心の点がないこと）が同値であることを確立する。
• 結果を用いて、タート曲線およびラッティーズ写像における明示的計算により、対角アラケロフ＝グリーン関数の最小値を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復写像 $\varphi^n$ の最小結果行列が $R_{[\varphi^n]} = \frac{d^n(d^n-1)}{d(d-1)} R_{[\varphi]}$ を満たすのはどのような条件下か？
• RQ2 半安定還元および特異性領域 $I(d)$ は、反復における最小結果行列の挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ3 均衡測度 $\mu_\varphi$ の重心と最小結果行列の位置との関係は何か？
• RQ4 最小結果行列公式を満たす写像について、対角アラケロフ＝グリーン関数の最小値を明示的に計算できるか？
• RQ5 乗法的次数が偶数のラッティーズ写像はなぜ最小結果行列公式を満たさないのか、奇数の場合はなぜ満たすのか？

主な発見

• 反復写像 $\varphi^n$ の最小結果行列が $R_{[\varphi^n]} = \frac{d^n(d^n-1)}{d(d-1)} R_{[\varphi]}$ を満たすのは、$\varphi$ がすべての反復について半安定還元をもち、その還元が特異性領域 $I(d)$ の外にあるとき、かつそのときに限り成り立つ。
• 奇数 $m$ のラッティーズ写像 $\psi_m$ については最小結果行列公式が成り立つが、偶数 $m$ の場合は反復ごとに最小結果行列の位置が変化するため、公式が成り立たない。
• $\varphi_2$（タート曲線上の乗法的2倍写像）の対角アラケロフ＝グリーン関数の最小値は $\frac{1}{12}\log_v|q|$ であり、ネロン＝タート高さおよびベルヌーイ多項式を用いた明示的計算により得られた。
• 同値条件が成り立つとき、$\varphi$ の最小結果行列の位置はすべての $n$ に対して $\varphi^n$ の最小結果行列の位置に含まれる。$\varphi(z) = \frac{z^p - z}{p}$ を $\mathbb{C}_v$ 上で考える例もこれに該当する。
• $\varphi(z) = \frac{z^p - z}{p}$ の均衡測度 $\mu_\varphi$ は $\mathbb{Z}_p$ 上のハール測度であり、その重心は $I(d)$ の外に還元を持つ同型類に対応し、定理の条件を満たす。
• 明示的計算により、偶数次ラッティーズ写像では最小結果行列の位置が反復ごとにずれることで、一様な同型類による半安定還元が得られず、最小結果行列公式が成り立たないことが確認された。