[論文レビュー] Iteration Complexity of Variational Quantum Algorithms

Vyacheslav Kungurtsev, Georgios Korpas+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、近接量子ハードウェアで一般的なノイズあり・バイアスありの量子評価下での変分量子アルゴリズム（VQAs）の反復複雑性保証を確立している。ノイズにより勾配推定が劣化しても、著者らは収束速度が変化しないことを証明しているが、バイアスは漸近的な停留性への距離を増大させ、収束定数を悪化させる。

ABSTRACT

There has been much recent interest in near-term applications of quantum computers, i.e., using quantum circuits that have short decoherence times due to hardware limitations. Variational quantum algorithms (VQA), wherein an optimization algorithm implemented on a classical computer evaluates a parametrized quantum circuit as an objective function, are a leading framework in this space. An enormous breadth of algorithms in this framework have been proposed for solving a range of problems in machine learning, forecasting, applied physics, and combinatorial optimization, among others. In this paper, we analyze the iteration complexity of VQA, that is, the number of steps that VQA requires until its iterates satisfy a surrogate measure of optimality. We argue that although VQA procedures incorporate algorithms that can, in the idealized case, be modeled as classic procedures in the optimization literature, the particular nature of noise in near-term devices invalidates the claim of applicability of off-the-shelf analyses of these algorithms. Specifically, noise makes the evaluations of the objective function via quantum circuits biased. Commonly used optimization procedures, such as SPSA and the parameter shift rule, can thus be seen as derivative-free optimization algorithms with biased function evaluations, for which there are currently no iteration complexity guarantees in the literature. We derive the missing guarantees and find that the rate of convergence is unaffected. However, the level of bias contributes unfavorably to both the constant therein, and the asymptotic distance to stationarity, i.e., the more bias, the farther one is guaranteed, at best, to reach a stationary point of the VQA objective.

研究の動機と目的

• 近接量子ハードウェアの現実的なノイズ条件下での変分量子アルゴリズム（VQAs）の理論的理解における重要なギャップを埋めるために、反復複雑性保証を提供すること。
• 近接量子ハードウェアの制限によって引き起こされる量子回路評価のバイアスが、VQAsで用いられる勾配フリー最適化法の収束に与える影響を分析すること。
• SPSA、2ポイント関数近似（2PFA）、パラメータシフト則（PSR）の性能を、ノイズあり関数評価下での収束速度および漸近的バイアスの観点から比較すること。
• バイアスが収束速度に影響しない一方で、漸近的誤差および収束定数がバイアスの増大に伴い悪化することを確立すること。
• 古典的状況では最適でないにもかかわらずVQAで経験的に成功しているSPSAの理論的裏付けを提供すること。

提案手法

• 量子ノイズによる偏りのある関数評価を受ける、確率的で勾配フリーの最適化問題としてVQA最適化をモデル化する。
• 古典的ゼロ次確率最適化の収束解析を、量子回路における偏りのある評価を考慮するように適応する。
• 偏りのある関数評価下でのSPSAおよび2PFAの反復複雑性バウンドを導出し、収束速度が標準的確率的勾配降下法と一致することを示す。
• 理論的解析を用いて、バイアスが収束定数および漸近的停留性誤差に与える影響を定量化する。
• さまざまな摂動サイズ（c）およびステップサイズ（α）の下で、数値実験を通じてSPSA、2PFA、PSRの性能を比較し、収束速度および目的関数値の安定性を測定する。
• 摂動サイズ（バイアスおよび分散に影響）とステップサイズの間のトレードオフが、収束品質およびロバストネスに与える影響を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子回路評価におけるバイアスは、VQAsにおける勾配フリー最適化法の反復複雑性にどのように影響するか？
• RQ2 SPSAおよび2PFAの収束速度は、偏りのある関数評価下で劣化するのか、それともノイズがあっても保持されるのか？
• RQ3 バイアスの程度が、VQA最適化における停留点への漸近的距離にどのように影響するか？
• RQ4 SPSAおよび2PFAの収束品質およびロバストネスを決定づける要因として、摂動サイズとステップサイズのトレードオフはどのようなものか？
• RQ5 古典的状況では最適でないにもかかわらず、なぜSPSAは実際には2PFAを上回る性能を示すのか？これはバイアスと分散とどのように関係するか？

主な発見

• SPSAおよび2PFAのVQAsにおける収束速度は、偏りのある関数評価下でも保持され、標準的確率的勾配降下法と同等の速度を示す。
• 量子評価におけるバイアスは、停留性への漸近的距離を増大させ、つまりアルゴリズムが真の最適解からより遠い点に収束することを意味する。
• バイアスが大きいほど収束バウンドの定数が大きくなり、収束速度の乗数要因が悪化する。
• SPSAは、特に大きな摂動がある高バイアス領域において、高い分散を示しても2PFAよりも速い収束を示す。
• 小さな摂動と大きなステップサイズの下では、SPSAは速度とロバストネスの良好なバランスを達成し、安定性および収束品質の点で2PFAを上回る。
• パラメータシフト則（PSR）は特定の状況で正確な勾配を提供するが、その性能は狭い回路クラスに限定されるのに対し、SPSAはノイズ下でも広く適用可能である。