[論文レビュー] Iterative Compression-Decimation Scheme for Tensor Network Optimization

Zhi-Cheng Yang, Stefanos Kourtis+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2017

Tensor decomposition and applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、周期的格子上の一般化された頂点模型に対して、並進不変性や境界条件に依存しない、反復的圧縮・粗化アルゴリズムを導入し、テンソルネットワークの最適化を実現する。局所的制約の伝播（畳み込み・分解スイープ）と格子の粗化を交互に繰り返すことで、テンソルの次元を制御し、大規模系において完全なテンソルトレースの正確な計算を可能にした。この手法により、基底状態のエントロピー密度の計算や、古典的に困難な可逆的計算問題の解決に成功した。

ABSTRACT

Motivated by statistical physics models connected to computation problems, we devise a tensor network technique that is suited to problems with or without translation invariance and with arbitrary boundary conditions. We introduce a compression-decimation algorithm as an efficient iterative scheme to optimize tensor networks that encode generalized vertex models on regular lattices. The algorithm first propagates local constraints to longer ranges via repeated contraction-decomposition sweeps over all lattice bonds, thus achieving compression on a given length scale. It then decimates the lattice via coarse-graining tensor contractions. Repeated iterations of these two steps allow us to gradually collapse the tensor network while keeping the tensor dimensions under control, such that ultimately the full tensor trace can be taken for relatively large systems. As a benchmark, we demonstrate the efficiency of the algorithm by computing the ground state entropy density of the planar ice model and the eight-vertex model. We then apply it to reversible classical computational problems based on a recently proposed vertex model representation of classical computations [Nat. Commun. 8, 15303 (2017)]. Our protocol allows us to obtain the exact number of solutions for computations where a naive enumeration would take astronomically long times, suggesting that the algorithm is a promising practical tool for the solution of a plethora of problems in physics and computer science.

研究の動機と目的

• 任意の境界条件を想定した系や、並進不変性を必要としない系に適用可能なテンソルネットワーク最適化手法の開発。
• 大規模系におけるテンソルネットワークの畳み込み処理において、テンソルランクの増大を制御する課題への対処。
• 直接列挙が不可能なほど大きな系において、テンソルトレースの正確な計算を可能にする。
• 統計物理学および可逆的古典計算の分野における問題へのテンソルネットワーク技法の拡張。
• 複雑なモデルに対して、精度と計算可能性のバランスを取る実用的な反復的スキームの提供。

提案手法

• アルゴリズムは、全格子結合に対して繰り返し畳み込み・分解スイープを実行し、局所的制約をより長いスケールにまで伝播させ、特定の長さスケールでの圧縮を達成する。
• テンソル畳み込みを用いた粗化を適用し、格子の縮小を実現することで、系のサイズを小さくしながら本質的な情報を保持する。
• 圧縮（制約伝播）と粗化（格子縮小）を交互に繰り返す反復サイクルを実行する。
• 反復的精錬によりテンソルの次元を制御し、最終的に完全なテンソルトレースの評価を可能にする。
• 一般化された頂点模型（平面的アイス模型や八頂点模型を含む）および可逆的古典計算の表現にこの手法を適用する。
• 計算コストの指数的増大を回避するよう設計されており、スケーラブルで効率的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 並進不変性の有無にかかわらず、任意の境界条件を想定した系に対しても適用可能なテンソルネットワーク手法を開発できるか。
• RQ2 反復的計算におけるテンソルネットワーク畳み込みを最適化することで、テンソル次元の管理をいかに維持できるか。
• RQ3 反復的圧縮・粗化スキームにより、直接列挙が不可能な大規模系においても、テンソルトレースの正確な計算が可能になるか。
• RQ4 この手法が、古典的に困難な可逆的計算問題をどの程度まで解けるか。
• RQ5 複雑な頂点模型に対して、計算コストを顕著に削減しながらも、精度を保持できるか。

主な発見

• アルゴリズムは、大規模な格子上における平面的アイス模型および八頂点模型の基底状態エントロピー密度を正確に計算した。
• 直接列挙に天文的時間が必要となる可逆的古典計算問題の解の個数を、正確に列挙可能となった。
• 反復的ステップの全過程でテンソル次元が制御されたまま維持され、比較的大きな系において完全なテンソルトレース評価が可能となった。
• 圧縮・粗化サイクルは、精度の著しい損失を伴わず、制約の伝播と系のサイズ縮小を効果的に実現した。
• 本手法は一般性に富み、統計物理学およびコンピュータサイエンスの広範なモデルクラス（並進不変性のないものも含む）に適用可能である。
• 結果は、標準的な列挙手法では計算不能な問題を解く上で、本アルゴリズムの実用的有用性を示している。