[論文レビュー] Iterative Design of L_p Digital Filters

Ricardo A. Vargas, C.S. Burrus|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2012

Digital Filter Design and Implementation参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$l_p$ ノルム（$2 < p < ∞$）、特に $l_\infty$（ミニマックス）設計を含む、FIRおよびIIRデジタルフィルタの設計のための反復的重み付き最小二乗法（IRLS）フレームワークを提案する。この手法は、逐次的な重み付き $l_2$ 最適化を通じて、最適な $l_p$ 解を効率的に近似し、周波数帯域別ノルムの設定が可能で、従来のツールよりも収束性に優れた柔軟で強固で効率的なフィルタ設計を実現する。

ABSTRACT

The design of digital filters is a fundamental process in the context of digital signal processing. The purpose of this paper is to study the use of $\lp$ norms (for $2 &lt; p &lt; \infty$) as design criteria for digital filters, and to introduce a set of algorithms for the design of Finite (FIR) and Infinite (IIR) Impulse Response digital filters based on the Iterative Reweighted Least Squares (IRLS) algorithm. The proposed algorithms rely on the idea of breaking the $\lp$ filter design problem into a sequence of approximations rather than solving the original $\lp$ problem directly. It is shown that one can efficiently design filters that arbitrarily approximate a desired $\lp$ solution (for $2 &lt; p &lt; \infty$) including the commonly used $l_\infty$ (or minimax) design problem. A method to design filters with different norms in different bands is presented (allowing the user for better control of the signal and noise behavior per band). Among the main contributions of this work is a method for the design of {\it magnitude} $\lp$ IIR filters. Experimental results show that the algorithms in this work are robust and efficient, improving over traditional off-the-shelf optimization tools. The group of proposed algorithms form a flexible collection that offers robustness and efficiency for a wide variety of digital filter design applications.

研究の動機と目的

• 最適化基準として $l_p$ ノルムを用いる、柔軟で効率的なアルゴリズムフレームワークの開発を目的とする。
• 既に確立された $l_p$ FIRフィルタ設計手法を、より複雑なIIRフィルタのケースへ拡張することを目的とする。
• 周波数帯域ごとにユーザーがノルムを選択可能とすることで、マルチバンド応用における信号対雑音比の向上を図ることを目的とする。
• 非線形で有理関数的な近似問題としての $l_p$ IIRフィルタ設計の本質的な難しさに対処するため、IRLSを適応的に拡張することを目的とする。
• 従来の市販の最適化ツールよりも優れた収束信頼性、柔軟性、拡張性を備えた、強固でモジュラーかつ拡張可能な実装を提供することを目的とする。

提案手法

• 本手法は、反復的重み付き最小二乗法（IRLS）を用い、$l_p$ フィルタ設計問題を、逐次的な重み付き $l_2$ 最小化による近似で解く。
• 各反復において、現在のフィルタ応答に基づいて重みを更新し、誤差が大きい領域を強調することで、$l_p$ 解への収束を促進する。
• 非凸な $l_p$ 問題を、数値安定性と収束性を保証する凸的で重み付き $l_2$ の部分問題に分解する。
• IIRフィルタの場合、線形 $l_2$ 部分問題を非線形で重み付き $l_2$ 最適化に置き換え、準線形化や位相更新の技術を組み込む。
• アルゴリズムはモジュラーであり、適応的重み更新や部分的パrameter更新などの新しいコンponentの容易な統合が可能である。
• 耐障害性と効率性を向上させるために、3段階の設計プロセスを導入し、各段階に特化した初期推定値を設定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形性と複雑性が増すにもかかわらず、$l_p$ FIRから $l_p$ IIRフィルタ設計へのIRLSフレームワークの有効な拡張が可能かどうか。
• RQ2 マルチバンド信号処理におけるフィルタ性能向上を目的として、$l_p$ ノルムを異なる周波数帯域に柔軟に適用する方法は何か。
• RQ3 有理関数（IIR）フィルタ近似において、収束性と耐障害性を確保するために、標準的なIRLSアルゴリズムに必要な修正は何か。
• RQ4 速度、精度、収束信頼性の観点から、本手法が従来の最適化ツールをどの程度上回るか。
• RQ5 柔軟な遷移帯域を備えた制約付き最小二乗法（CLS）のような制約付き設計問題を、本手法が効率的に処理できるか。

主な発見

• 提案されたIRLSベースのアルゴリズムは、収束性が強く保証され、標準的なツールが失敗する困難なケースですらも、$l_p$ FIRおよびIIRフィルタの設計において強固で効率的に行える。
• $p$ が無限大に近づくように反復的に $l_p$ 問題を解くことで、$l_\infty$（ミニマックス）設計を効果的に近似できる。
• 周波数帯域ごとの $p$-ノルムを、最小限のアルゴリズム変更で実装可能であり、周波数帯域ごとの誤差分布に対する細かな制御が可能になる。
• IIRフィルタの場合、$p$-ステップの初期段階を除き、内部の $l_2$ 部分問題は平均1〜数回の反復で十分であり、計算効率が維持される。
• 特にタイトな制約や非一様サンプリングを扱う場合に、市販の最適化ツールよりも優れた性能を示す。
• モジュラー設計により、将来の $l_p$ 最適化分野における改良の容易な統合と拡張が可能であり、長期的な適応性が向上する。