[論文レビュー] Iterative Volume-of-Fluid interface positioning in general polyhedrons with Consecutive Cubic Spline interpolation

Tomislav Marić|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2020

Fluid Dynamics and Heat Transfer参考文献 29被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ボリューム・オブ・フラッド（VOF）法における非構造的多面体セル内の平面界面の位置決めに、極めて効率的な反復的手法である連続立方スプライン（CCS）アルゴリズムを導入する。既存の幾何データを活用し、立方スプライン補間を用いた二点根探索法を採用することで、極端な体積分率（0または1に近い）であっても、収束の許容誤差10−12において平均してわずか2回の反復で収束を達成し、既存手法に比べて計算効率と実装の容易さにおいて顕著な優位性を示す。

ABSTRACT

A straightforward and computationally efficient Consecutive Cubic Spline (CCS) iterative algorithm is proposed for positioning the planar interface of the unstructured geometrical Volume-of-Fluid method in arbitrarily-shaped cells. The CCS algorithm is a two-point root-finding algorithm specifically designed for the VOF interface positioning problem, where the volume fraction function has diminishing derivatives at the ends of the search interval. As a two-point iterative algorithm, CCS re-uses function values and derivatives from previous iterations and does not rely on interval bracketing. The CCS algorithm only requires only two iterations on average to position the interface with a tolerance of $10^{-12}$, even with numerically very challenging volume fraction values, e.g. near $10^{-9}$ or $1-10^{-9}$. The proposed CCS algorithm is very straightforward to implement because its input is already calculated by every geometrical VOF method. It builds upon and significantly improves the predictive Newton method and is independent of the cell's geometrical model and related intersection algorithm. Geometrical parametrizations of truncated volumes used by other contemporary methods are completely avoided. The computational efficiency is comparable in terms of the number of iterations to the fastest methods reported so far. References are provided in the results section to the open-source implementation of the CCS algorithm and the performance measurement data.

研究の動機と目的

• 一般の非構造的多面体セルにおけるボリューム・オブ・フラッド（VOF）法の計算的に効率的で安定した界面位置決めアルゴリズムの開発を目的とする。
• 特に体積分率が0または1に近い極端な場合に生じる高い計算コストと数値的不安定性の課題に対処することを目的とする。
• 従来手法で用いられる切り捨てられた体積の複雑な幾何パラメータライゼーションの必要性を排除することを目的とする。
• 既存の幾何的VOFソルバーに統合する際に、セルデータ構造を変更せずに、かつ非常に簡単な変更で実装可能な手法を提供することを目的とする。

提案手法

• CCSアルゴリズムは、界面位置をセルの法線方向に沿ったスカラー変数sにパラメータライズする。このsは、界面位置を法線方向のスカラー位置に変換する。
• 界面位置決め問題を、関数˜α(s) = αc(s) − αcの根を見つける問題として定式化する。ここでαc(s)は、sの関数としての正規化された切り捨て体積を表す。
• 連続する立方スプライン補間に基づく二点反復根探索スキームを適用し、前回の反復で得た関数値と微分値を再利用することで収束を加速する。
• 区間のブレケット処理を回避し、切り捨てられた体積の幾何パラメータライゼーションを必要とせず、既に標準的なVOF手法で計算済みの体積分率とセル幾何データのみに依存する。
• VOF法における体積切断の性質に起因して生じる区間端（sminおよびsmax）における導関数の減少を適切に処理するよう設計されている。
• 基礎となるセル幾何や交差アルゴリズムに依存しないため、任意の非構造的メッシュおよびセルモデルと互換性を持つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体積分率が0または1に近い場合でも、高い精度と効率を維持できる単純な反復的界面位置決めアルゴリズムを開発可能か？
• RQ2 ニュートン法、ブレント法、CIBRAVEと比較して、提案されたCCSアルゴリズムの収束速度と安定性はどの程度優れているか？
• RQ3 複雑な幾何パラメータライゼーションを導入せずに、体積切り捨て処理の回数をどの程度削減できるか？
• RQ4 既存の幾何的VOFコードに最小限の変更で実装可能か？ また、ソルバーにすでに存在するデータのみを用いるか？
• RQ5 幾何パラメータライゼーションを一切行わないことで、計算コストの顕著な低減とキャッシュ効率の向上が達成されるか？

主な発見

• CCSアルゴリズムは、体積分率が10−9または1−10−9にまで極端に近い場合であっても、収束許容誤差10−12において平均してわずか2回の反復で収束を達成する。
• ニュートン法、ブレント法、安定化セカント・バイセクション法に比べ、収束速度と安定性の両面で優れている。
• CIBRAVEと同等の平均的な体積切り捨て回数を達成しているが、複雑な幾何パラメータライゼーションを必要としない。
• 計算的に効率的で、高い移植性を備えており、既存のセルデータ構造やメッシュ接続性の変更が一切不要である。
• CPU時間の分布から、体積切り捨て処理が主なコスト要因であることが判明しており、CCSによる切り捨て回数の削減が顕著な高速化をもたらす。
• セルの法線が面の法線と平行になる場合（多くの従来手法が破綻する状況）でも、アルゴリズム内で特別な処理を施すことにより、依然として安定に動作する。