[論文レビュー] Ito and Stratonovich calculuses in stochastic field theory

Juha Honkonen|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、確率的場理論の関数的積分表現における曖昧さを解消し、伝搬関数の初期値と決定論的項の選択に応じて、伊藤とストラトノビッチ解釈に対応する2つの異なる動的作用を導出する。両形式が摂動的解において等価であることを示し、スムーズな構造と余分なループグラフの不在により、非摂動的計算において伊藤形式がより適していることを明らかにする。

ABSTRACT

Ambiguities in the functional-integral solution of the stochastic differential equation (SDE) arising due to the definition on the functional Jacobi determinant and the white-in-time limit in the noise are analyzed and two forms of the de Dominicis-Janssen dynamic action proposed corresponding to the Ito and Stratonovich interpretations of the SDE.

研究の動機と目的

• 白色時間ノイズと関数的ヤコビアン行列式の寄与による、確率微分方程式（SDE）の関数的積分的解法における曖昧さを解消すること。
• 白色ノイズを伴うランジュバン方程式の数学的不整合性と、経路積分表現への影響を明確にすること。
• 伊藤とストラトノビッチ解釈の両方における動的作用を構築する統一的枠組みを確立すること。
• 伝搬関数の初期値（Δ(0)）と決定論的項の選択が、動的作用の形を決定することを示すこと。
• 摂動的解は等価であるが、非摂動的評価には伊藤形式がより適していることを示すこと。

提案手法

• 関数的ヤコビアン行列式をループ展開によるTr ln Mを用いて組み込んだSDEの関数的積分表現から、De Dominicis-Janssenの動的作用を導出する。
• Δ(0)の値が異なる2つの動的作用を導入する：伊藤ではΔ(0) = 0、ストラトノビッチではΔ(0) = ½δ(x−x′)であり、それぞれSDEの異なる解釈に対応する。
• Fokker-Planck方程式と作用素法を用いて、動的作用と元の確率過程との関係を確立する。
• 伊藤-ストラトノビッチ対応を適用して動的作用を変換し、伊藤形式に追加項ΔS = ½ φ̃b′Dbが現れることを特定する。
• ノイズ場fがゼロ平均ガウス統計に従うことを前提に、φおよび共役場φ̃に関する関数的積分を用いて生成関数を構成する。
• ヤコビアン項に起因する余分なループグラフが頂点寄与と相殺されることを示し、正しい反復的解が回復されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SDEの関数的積分表現における曖昧さは、関数的ヤコビアンと白色ノイズの両者によってどのように生じるか？
• RQ2 伝搬関数の初期値Δ(0)が動的作用の形を決定する役割を果たすのはなぜか？
• RQ3 同じSDEに対して、伊藤とストラトノビッチ解釈がなぜ異なる動的作用を生じるのか？
• RQ4 なぜ伊藤形式の動的作用がストラトノビッチ形式よりも非摂動的計算に適しているのか？
• RQ5 伊藤形式とストラトノビッチ形式を結ぶ補正項ΔSの正確な数学的構造は何か？

主な発見

• SDEの関数的積分的解法には、ノイズ統計とは独立に生じるヤコビアン行列式に起因する曖昧さが存在し、決定論的方程式に対しても同様に現れる。
• 白色時間ノイズに起因する曖昧さは、伊藤とストラトノビッチの2つの異なる解釈に分岐し、それぞれが異なる動的作用に対応する。
• 伊藤の動的作用はS′[φ,φ̃,f] = −½fD⁻¹f + φ̃[−∂tφ − Kφ + U(φ) + ½b′Db + fb(φ)]（Δ(0) = 0）で与えられる。
• ストラトノビッチの動的作用はS′′[φ,φ̃,f] = −½[U′(φ) + ¼b′Db′ + b′f] − ½fD⁻¹f + φ̃[−∂tφ − Kφ + U(φ) + fb(φ)]（Δ(0) = ½δ(x−x′)）で与えられる。
• 2つの動的作用は、ヤコビアン項に起因する余分なループグラフが頂点寄与と相殺されることで、摂動的解において同一となる。
• 伊藤形式は、構造が単純で余分な項がないため、インスタントン計算や数値積分などの非摂動的手法により適している。