[論文レビュー] Iwasawa Invariants of Some Non-Cyclotomic $\mathbb Z_p$-extensions

David Hubbard, Lawrence C. Washington|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、p = 2 および p = 3 の場合に、非巡回 ℤₚ-拡張における Iwasawa 不変量 (λ, μ, ν) を明示的に計算している。Iwasawa の構成法を用い、反円型 ℤₚ-拡張と次数 p の巡回拡張を組み合わせている。主な貢献は、基本体において素数 s が無限遠で不分解かつ巡回拡張で不分岐であるような s 個の素数に対して μ = s − 1 であることを証明し、多数の具体例で確認している。

ABSTRACT

Iwasawa showed that there are non-cyclotomic $\mathbb Z_p$-extensions with positive $μ$-invariant. We show that these $μ$-invariants can be evaluated explicitly in many situations when $p=2$ and $p=3$.

研究の動機と目的

• p = 2 および p = 3 の場合に、非巡回 ℤₚ-拡張における Iwasawa 不変量 μ, λ, ν の明示的値を決定すること。
• 非巡回設定において、Iwasawa の下界 μ ≥ s − 1 が鋭いかどうかを調査すること。
• p-主類群の成長を評価するため、特定の数体 Kₙ = kₙ(√[p]{q}) の類数を計算すること。
• ガロア作用の下での単数指数と固定理想類の役割が、μ-不変量を決定する仕組みを分析すること。
• 局所的および大域的ノルム条件に基づき、μ > s − 1 となる条件を探索すること。

提案手法

• Iwasawa の構成法を用いる：虚二次体 k₀ を出発とし、その反円型 ℤₚ-拡張 k∞/k₀ を取り、次数 p の巡回拡張 K₀/k₀ を用いて基底変換し、K∞/K₀ を得る。
• 巡回拡張におけるクラス群の G-固定部分群のサイズを評価するため、Chevalley の公式を適用し、Kₙ の p-部分クラス数を推定する。
• p-シロー部分群のクラス群の逆極限 X = lim← Aₙ を、Λ = ℤₚ[[T]]-加群とみなして、モジュール構造を用いて μ-不変量を分析する。
• k₀/ℚ で無限遠で不分解である素数は k∞/k₀ で完全に分解するため、K∞/K₀ における分岐は、K₀/k₀ の q 以上の素数から生じる。
• 特に n = 1 の小さな n に対して、代数的数論の道具（単数群の指数、局所ノルムなど）を用いて明示的な類数計算を実施する。
• h₂′（関連する体の類数）と eₙ に対する不等式を用い、特に μ = 0 または μ = 1 の場合に μ の取りうる値を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p = 3 または p = 2 の非巡回 ℤₚ-拡張において、Iwasawa の下界 μ ≥ s − 1 は鋭いか？
• RQ2 非巡回設定において、μ-不変量の正確な値を明示的に計算できるか。その場合、どのような条件下で可能か？
• RQ3 Iwasawa の構成において、μ = s − 1 か μ > s − 1 かを決定するのは何に依存するか？
• RQ4 局所ノルム条件と単数群の指数は、ℤₚ-拡張における μ-不変量にどのように影響するか？
• RQ5 Kₙ = kₙ(√[p]{q}) の明示的類数計算は、μ, λ, ν 不変量を導くのに用いられるか？

主な発見

• p = 3 かつ q ≡ 2 もしくは 5 mod 9 のとき、ℚ(ζ₃, √[3]{q}) の類数は 3 で割り切れないため、ℤ₃-拡張において μ = λ = ν = 0 である。
• q ≡ 8 mod 9 のとき、K₀ = ℚ(ζ₃, √[3]{q}) の類数は 3 で割り切れないため、A₀^τ = 1 であり、μ = λ = ν = 0 である。
• q ≡ 8 mod 9 かつ A₁ = 9 × 3 のとき、単数指数は 3 で、e₁ − e₀ = 3 であるため、0 ≤ μ ≤ 1 であるが、h₂ に関する妥当な仮定のもとで μ = 0 が示される。
• q = 89, 449, 431, 647, 719, 683, 773 に対して、A₁ = 3² のとき、単数指数は 3² で、0 ≤ μ ≤ 1 である。h₂ に関する仮定のもとで μ = 0 が可能性が高い。
• q = 269, 521, 809 に対して、A₁ = 9² × 3² のとき、単数指数は 3² で、0 ≤ μ ≤ 3 である。q = 269, 809 に対しては μ ≤ 1 が可能性高く、q = 521 に対しては μ ≤ 2 である。
• q = 827 に対して、A₁ = 27 × 9 × 3² のとき、単数指数は 3 で、0 ≤ μ ≤ 3 である。h₂ ∣ (h₂′)² という仮定のもとで、μ = 0 が導かれる。