[論文レビュー] Iwasawa Main Conjecture for Rankin-Selberg p-adic L-functions

Xin Wan|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2014

Advanced Algebra and Geometry被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Hida族のモジュラー形式と高重量のCM形式のRankin-Selberg p進L関数に対して、GU(3,1)上のKlingen-Eisenstein級数と尖点形式の合同関係を用いて、Iwasawa主予想における1つの可除性を証明する。主な結果は、p進L関数が関連するセレマー群の特徴的イデアルを割ることを示しており、これにより、Gross-Zagier-Kolyvagin定理の逆およびランク1の場合のp進Birch and Swinnerton-Dyer公式への応用が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we prove that the p-adic L-function that interpolates the Rankin-Selberg product of a general modular form and a CM form of higher weight divides the characteristic ideal of the corresponding Selmer group. This is one divisibility of the Iwasawa main conjecture for the p-adic L-function. We prove this conjecture using the congruences between Klingen Eisensteinseries and cusp forms on the group GU(3; 1), following the strategy of a recent work of C. Skinner and E. Urban. This theorem can be used to deduce a converse of Gross-Zagier-Kolyvagin theorem and the precise BSD formula in the rank one case.

研究の動機と目的

• Hida族とCM形式のRankin-Selberg積から生じるp進L関数に対するIwasawa主予想における1つの可除性を確立すること。
• SkinnerとUrbanの手法を拡張し、ユニタリ群GU(3,1)上での合同関係を用いて、非通常設定における一般のフーリエ・ヤコビ展開を扱うこと。
• 算術的応用を導出すること、特にGross-Zagier-Kolyvagin定理の逆および解析的ランク1におけるp進精確BSD公式の一部。
• 超特異楕円曲線に対するIwasawa主予想を証明するための基礎的段階を提供すること。

提案手法

• 倍加法（doubling method）を用いて、Σ-原始的p進L関数を構成し、臨界中心値におけるRankin-Selberg L関数の特別値を補間する。
• GU(3,1)上でのKlingen-Eisenstein級数と尖点形式の合同関係を用いて、p進L関数とセレマー群を関連付ける。
• 一般のフーリエ・ヤコビ展開を扱うために、高重量のCM形式および非通常設定に適応したSkinnerとUrbanの戦略を適用する。
• 完成化された整数環上のIwasawa代数におけるFittingイデアルと特徴的イデアルを用いて、セレマー群とp進L関数を比較する。
• 局所化とベースチェンジの議論を用いて、主定理をより大きな環上での命題に還元し、正規性と有限性を用いて元の環に戻す。
• Siegelモジュラー多様体のコホロロジー上のガロア表現に付随する擬代数的表現を用いて、セレマー群の構造を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hida族と高重量のCM形式のRankin-Selberg積に付随するp進L関数は、対応するセレマー群の特徴的イデアルを割るか？
• RQ2 GU(3,1)上でのEisenstein級数と尖点形式の合同関係の手法を、非通常および高重量設定に拡張し、Iwasawa主予想の片側を証明できるか？
• RQ3 倍加法によって構成されたp進L関数は、Iwasawa理論における双対セレマー群の構造をどの程度制御するか？
• RQ4 このp進L関数に対するIwasawa主予想は、Gross-Zagier-Kolyvagin定理の逆をどのように示すか？
• RQ5 解析的ランク1の場合に、p進L関数とセレマー群の特徴的イデアルの正確な関係は何か？

主な発見

• $τ_{\mathbf{f},\xi,\mathcal{K}}^{\Sigma}$ は双対セレマー群 $X_{\mathbf{f},\mathcal{K},\xi}$ の特徴的イデアルを割る。これは、Iwasawa主予想における1つの可除性を証明する。
• 証明は、GU(3,1)上でのKlingen-Eisenstein級数と尖点形式の合同関係に依拠しており、SkinnerとUrbanの戦略を高重量CMの場合に拡張している。
• セレマー群のFittingイデアルは、p進L関数によって生成されるイデアルに含まれる。これは、セレマー群の特徴的イデアルがL関数を割ることを意味する。
• 重み2の単一の形式 $f_0$ に特殊化すると、結果は解析的ランク1の場合のp進BSD公式を示す。
• 倍加法によるp進L関数の構成により、中心臨界点における臨界L値の代数的部品が正しく補間される。
• 非分裂素数および局所Euler因子は、低いランクのIwasawa代数からの引き戻しでない高さ1の素イデアルを扱うことで扱われる。