[論文レビュー] Iwasawa theory for elliptic curves at supersingular primes over Z_p-extensions of number fields

Adrian Iovita, Robert Pollack|ArXiv.org|Nov 22, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、p が完全に分解する数体の任意の ℤₚ-拡大へと、特異素数における楕円曲線の Iwasawa 理論を拡張する。非可換な ℤₚ-拡大における形式群のための新しい局所的制御定理を確立し、±-不変量を導入することで、Selmer 群および p-主部シャファレヴィッチ＝タイト群の成長に関する漸近公式を導出し、従来の円分的設定からの一般化を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we make a study of the Iwasawa theory of an elliptic curve at a supersingular prime p along an arbitrary Z_p-extension of a number field K in the case when p splits completely in K. Generalizing work of Kobayashi and Perrin-Riou, we define restricted Selmer groups and λ^\pm, μ^\pm-invariants; we then derive asymptotic formulas describing the growth of the Selmer group in terms of these invariants. To be able to work with non-cyclotomic Z_p-extensions, a new local result is proven that gives a complete description of the formal group of an elliptic curve at a supersingular prime along any ramified Z_p-extension of Q_p.

研究の動機と目的

• 数体の任意の ℤₚ-拡大へと、特異素数における楕円曲線の Iwasawa 理論を円分的 ℤₚ-拡大を超えて一般化すること。
• 形式群上のトレース写像が全射でないために古典的制御定理が成立しない特異素数の場合の問題を扱うこと。
• 特異素数設定における Selmer 群のガロア加群構造を捉えるために、制限付き Selmer 群と ±-不変量を定義すること。
• 任意の ℤₚ-拡大に沿って p-主部 Selmer 群およびシャファレヴィッチ＝タイト群のサイズに関する漸近公式を確立すること。
• E(K)/pE(K)=0、Ш(E/K)[p]=0、p∤Tam(E/K) というグローバルな仮定のもとで、p-主部 Selmer 群およびシャファレヴィッチ＝タイト群が有限であり、その構造が正確に記述されることを証明すること。

提案手法

• 任意の ℚₚ の非可換 ℤₚ-拡大における楕円曲線の形式群に対して、新しい局所的制御定理を証明し、トレース写像が特定の再帰関係を満たすことを示す：Trⁿₙ₋₁(dₙ) = -dₙ₋₂（dₙ ∈ Ê(Lₙ) を生成元とする）。
• 生成元 {dₙ} を用いて、形式群上のトレース写像の核および余核を記述し、非通常の場合におけるガロアコホモロジーの制御を可能にする。
• Sₙ,Σ(T) と呼ばれる制限付き Selmer 群を定義し、それらが通常の Selmer 群と同様に振る舞うようにすることで、Iwasawa 環におけるプラス/マイナス代数的 p-進 L 関数の構成が可能になる。
• 代数的 p-進 L 関数の2通りの同等な定式化を構成する：1つは点 {dₙ} を通じて、もう1つは制限付き Selmer 群を通じて。両者の特徴多項式が一致することを証明する。
• Selmer 群、形式群、コホモロジー群を関係付ける可換図式にスネイク補題を適用し、Selmer 群のサイズの p-進付値に関する公式を導出する。
• Kato のオイラー系を用いて、特別な場合（例えば K=ℚ または虚二次体 K）においてグローバルな仮定を検証し、既知の結果を系として回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異素数における楕円曲線の Iwasawa 理論を、円分的 ℤₚ-拡大を超えて、数体の任意の ℤₚ-拡大へとどのように拡張できるか？
• RQ2 形式群上のトレース写像が全射でない特異素数の場合、制御定理の正しい類似物は何か？
• RQ3 非円分的設定において、Selmer 群の成長を反映する代数的 p-進 L 関数と ±-不変量をどのように定義できるか？
• RQ4 どのようなグローバルな条件下で、p-主部 Selmer 群が有限であり、その構造が正確に計算可能になるか？
• RQ5 ±-不変量と局所的データを用いて、p-主部シャファレヴィッチ＝タイト群のサイズに関する正確な漸近公式は何か？

主な発見

• 任意の ℤₚ-拡大 K∞/K について、p が K で完全に分解する限り、E(K)/pE(K)=0、Ш(E/K)[p]=0、p∤Tam(E/K) ならば、E over Kn の p-主部 Selmer 群は有限である。
• n が十分に大きいとき、Ш(E/Kₙ)[p∞] のサイズは漸近的に p^{μ⁺(pⁿ−pⁿ⁻¹)+λ⁺} に比例する。ここで μ⁺ と λ⁺ は本稿で定義された ±-不変量である。
• 任意の非可換 ℤₚ-拡大における形式群上のトレース写像の核および余核は完全に記述されている：coker(Trⁿₙ₋₁) ≅ (ℤ/pℤ)^{dqₙ} かつ ker(Trⁿₙ₋₁) は巡回群の積と同型である。
• 制限付き Selmer 群の特徴多項式は、点 {dₙ} から構成されたものと一致する。これにより、代数的 p-進 L 関数の2通りの構成法が一貫していることが証明された。
• 代数的 p-進 L 関数が非ゼロ（つまり、すべての μ⁺, μ⁻, λ⁺, λ⁻ がゼロ）であるとき、制限付き Selmer 群は Iwasawa 環上で余ねじれであり、Selmer 群のコランクは n に対して線形に増加する。
• K=ℚ または p が分解する虚二次体 K で、グローバルな仮定が成り立つ場合、本稿は [9] の主要結果を回復し、Ш(E/Kₙ)[p∞] のサイズおよびガロア作用の構造について正確な公式を系として得る。